Algèbre Exemples

$\sqrt{2} \sin (\frac{3 π}{8}) \cos (\frac{3 π}{8})$

Étape 1

La valeur exacte de $\sin (\frac{3 π}{8})$ est $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 1.1

Réécrivez $\frac{3 π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\sqrt{2} \sin (\frac{\frac{3 π}{4}}{2}) \cos (\frac{3 π}{8})$

Étape 1.2

Appliquez l’identité de demi-angle du sinus.

$\sqrt{2} (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{2}}) \cos (\frac{3 π}{8})$

Étape 1.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car le sinus est positif dans le premier quadrant.

$\sqrt{2} \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{2}} \cos (\frac{3 π}{8})$

Étape 1.4

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{2}}$ .

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Étape 1.4.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\sqrt{2} \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{4})}{2}} \cos (\frac{3 π}{8})$

Étape 1.4.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{2} \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (\frac{3 π}{8})$

Étape 1.4.3

Multipliez $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\sqrt{2} \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (\frac{3 π}{8})$

Étape 1.4.3.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $1$ .

$\sqrt{2} \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (\frac{3 π}{8})$

Étape 1.4.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{2} \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (\frac{3 π}{8})$

Étape 1.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{2} \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (\frac{3 π}{8})$

Étape 1.4.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sqrt{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cos (\frac{3 π}{8})$

Étape 1.4.7

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.4.7.1

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} \cos (\frac{3 π}{8})$

Étape 1.4.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sqrt{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} \cos (\frac{3 π}{8})$

Étape 1.4.8

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\sqrt{2} \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} \cos (\frac{3 π}{8})$

Étape 1.4.9

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.9.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{2} \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} \cos (\frac{3 π}{8})$

Étape 1.4.9.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\sqrt{2} \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cos (\frac{3 π}{8})$

Étape 2

Multipliez $\sqrt{2} \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 2.1

Associez $\sqrt{2}$ et $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cos (\frac{3 π}{8})$

Étape 2.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} \cos (\frac{3 π}{8})$

Étape 3

La valeur exacte de $\cos (\frac{3 π}{8})$ est $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez $\frac{3 π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} \cos (\frac{\frac{3 π}{4}}{2})$

Étape 3.2

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}{2}})$

Étape 3.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car le cosinus est positif dans le premier quadrant.

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}{2}}$ .

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Étape 3.4.1

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Étape 3.4.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 3.4.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 3.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 3.4.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 3.4.6

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 3.4.6.1

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Étape 3.4.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$

Étape 3.4.7

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Étape 3.4.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.8.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 3.4.8.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Étape 4

Multipliez $\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{(2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{(4 + 2 \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.5

Développez $(4 + 2 \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{4 (2 - \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2 + 4 (- \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2 + 4 (- \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} \cdot 2 + 2 \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.6.1.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{8 + 4 (- \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} \cdot 2 + 2 \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.6.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{\sqrt{8 - 4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \cdot 2 + 2 \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.6.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{8 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.6.1.4

Multipliez $2 \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Étape 4.6.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{8 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.6.1.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{8 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.6.1.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{8 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.6.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{8 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.6.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{8 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 2 {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.6.1.5

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.6.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{8 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.6.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{8 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.6.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{8 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.6.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.6.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{8 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.6.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{8 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 2 \cdot 2^{1}}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.6.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{8 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.6.1.6

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{8 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 4}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.6.2

Soustrayez $4$ de $8$ .

$\frac{\sqrt{4 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.6.3

Additionnez $- 4 \sqrt{2}$ et $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 0}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.6.4

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{\sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.7

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{4}}{4}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{4}$

Étape 5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{2}{4}$

Étape 6

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 6.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Étape 6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{2}$

Forme décimale :

$0.5$