Algèbre Exemples

$y = \sqrt{\frac{x + 1}{x - 4}}$

Étape 1

Multipliez l’équation par $x - 4$ .

$(x - 4) (y) = (\sqrt{\frac{x + 1}{x - 4}}) (x - 4)$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x y - 4 y = (\sqrt{\frac{x + 1}{x - 4}}) (x - 4)$

Étape 3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1

Simplifiez $(\sqrt{\frac{x + 1}{x - 4}}) (x - 4)$ .

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Étape 3.1.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{x + 1}{x - 4}}$ comme $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 4}}$ .

$x y - 4 y = \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 4}} (x - 4)$

Étape 3.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 4}}$ par $\frac{\sqrt{x - 4}}{\sqrt{x - 4}}$ .

$x y - 4 y = \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 4}} \cdot \frac{\sqrt{x - 4}}{\sqrt{x - 4}} (x - 4)$

Étape 3.1.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 4}}$ par $\frac{\sqrt{x - 4}}{\sqrt{x - 4}}$ .

$x y - 4 y = \frac{\sqrt{x + 1} \sqrt{x - 4}}{\sqrt{x - 4} \sqrt{x - 4}} (x - 4)$

Étape 3.1.3.2

Élevez $\sqrt{x - 4}$ à la puissance $1$ .

$x y - 4 y = \frac{\sqrt{x + 1} \sqrt{x - 4}}{{\sqrt{x - 4}}^{1} \sqrt{x - 4}} (x - 4)$

Étape 3.1.3.3

Élevez $\sqrt{x - 4}$ à la puissance $1$ .

$x y - 4 y = \frac{\sqrt{x + 1} \sqrt{x - 4}}{{\sqrt{x - 4}}^{1} {\sqrt{x - 4}}^{1}} (x - 4)$

Étape 3.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x y - 4 y = \frac{\sqrt{x + 1} \sqrt{x - 4}}{{\sqrt{x - 4}}^{1 + 1}} (x - 4)$

Étape 3.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x y - 4 y = \frac{\sqrt{x + 1} \sqrt{x - 4}}{{\sqrt{x - 4}}^{2}} (x - 4)$

Étape 3.1.3.6

Réécrivez ${\sqrt{x - 4}}^{2}$ comme $x - 4$ .

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Étape 3.1.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 4}$ comme ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x y - 4 y = \frac{\sqrt{x + 1} \sqrt{x - 4}}{{({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x - 4)$

Étape 3.1.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x y - 4 y = \frac{\sqrt{x + 1} \sqrt{x - 4}}{{(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (x - 4)$

Étape 3.1.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x y - 4 y = \frac{\sqrt{x + 1} \sqrt{x - 4}}{{(x - 4)}^{\frac{2}{2}}} (x - 4)$

Étape 3.1.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x y - 4 y = \frac{\sqrt{x + 1} \sqrt{x - 4}}{{(x - 4)}^{\frac{2}{2}}} (x - 4)$

Étape 3.1.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x y - 4 y = \frac{\sqrt{x + 1} \sqrt{x - 4}}{{(x - 4)}^{1}} (x - 4)$

Étape 3.1.3.6.5

Simplifiez

$x y - 4 y = \frac{\sqrt{x + 1} \sqrt{x - 4}}{x - 4} (x - 4)$

Étape 3.1.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x y - 4 y = \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 4)}}{x - 4} (x - 4)$

Étape 3.1.5

Annulez le facteur commun de $x - 4$ .

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Étape 3.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$x y - 4 y = \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 4)}}{x - 4} (x - 4)$

Étape 3.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$x y - 4 y = \sqrt{(x + 1) (x - 4)}$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$\sqrt{(x + 1) (x - 4)} = x y - 4 y$

Étape 4.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{(x + 1) (x - 4)}}^{2} = {(x y - 4 y)}^{2}$

Étape 4.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(x + 1) (x - 4)}$ comme ${((x + 1) (x - 4))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((x + 1) (x - 4))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x y - 4 y)}^{2}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez ${({((x + 1) (x - 4))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({((x + 1) (x - 4))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((x + 1) (x - 4))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x y - 4 y)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${((x + 1) (x - 4))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x y - 4 y)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${((x + 1) (x - 4))}^{1} = {(x y - 4 y)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.2

Développez $(x + 1) (x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

${(x (x - 4) + 1 (x - 4))}^{1} = {(x y - 4 y)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

${(x \cdot x + x \cdot - 4 + 1 (x - 4))}^{1} = {(x y - 4 y)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

${(x \cdot x + x \cdot - 4 + 1 x + 1 \cdot - 4)}^{1} = {(x y - 4 y)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

${(x^{2} + x \cdot - 4 + 1 x + 1 \cdot - 4)}^{1} = {(x y - 4 y)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.3.1.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $x$ .

${(x^{2} - 4 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 4)}^{1} = {(x y - 4 y)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.3.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

${(x^{2} - 4 x + x + 1 \cdot - 4)}^{1} = {(x y - 4 y)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.3.1.4

Multipliez $- 4$ par $1$ .

${(x^{2} - 4 x + x - 4)}^{1} = {(x y - 4 y)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.3.2

Additionnez $- 4 x$ et $x$ .

${(x^{2} - 3 x - 4)}^{1} = {(x y - 4 y)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.4

Simplifiez

$x^{2} - 3 x - 4 = {(x y - 4 y)}^{2}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.3.1

Simplifiez ${(x y - 4 y)}^{2}$ .

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Étape 4.3.3.1.1

Réécrivez ${(x y - 4 y)}^{2}$ comme $(x y - 4 y) (x y - 4 y)$ .

$x^{2} - 3 x - 4 = (x y - 4 y) (x y - 4 y)$

Étape 4.3.3.1.2

Développez $(x y - 4 y) (x y - 4 y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 3 x - 4 = x y (x y - 4 y) - 4 y (x y - 4 y)$

Étape 4.3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 3 x - 4 = x y (x y) + x y (- 4 y) - 4 y (x y - 4 y)$

Étape 4.3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 3 x - 4 = x y (x y) + x y (- 4 y) - 4 y (x y) - 4 y (- 4 y)$

Étape 4.3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.3.1.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$x^{2} - 3 x - 4 = x \cdot x y \cdot y + x y (- 4 y) - 4 y (x y) - 4 y (- 4 y)$

Étape 4.3.3.1.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} - 3 x - 4 = x^{2} y \cdot y + x y (- 4 y) - 4 y (x y) - 4 y (- 4 y)$

Étape 4.3.3.1.3.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.3.1.3.1.2.1

Déplacez $y$ .

$x^{2} - 3 x - 4 = x^{2} (y \cdot y) + x y (- 4 y) - 4 y (x y) - 4 y (- 4 y)$

Étape 4.3.3.1.3.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$x^{2} - 3 x - 4 = x^{2} y^{2} + x y (- 4 y) - 4 y (x y) - 4 y (- 4 y)$

Étape 4.3.3.1.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} - 3 x - 4 = x^{2} y^{2} - 4 x y \cdot y - 4 y (x y) - 4 y (- 4 y)$

Étape 4.3.3.1.3.1.4

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.3.1.3.1.4.1

Déplacez $y$ .

$x^{2} - 3 x - 4 = x^{2} y^{2} - 4 x (y \cdot y) - 4 y (x y) - 4 y (- 4 y)$

Étape 4.3.3.1.3.1.4.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$x^{2} - 3 x - 4 = x^{2} y^{2} - 4 x y^{2} - 4 y (x y) - 4 y (- 4 y)$

Étape 4.3.3.1.3.1.5

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.1.3.1.5.1

Déplacez $y$ .

$x^{2} - 3 x - 4 = x^{2} y^{2} - 4 x y^{2} - 4 (y \cdot y) x - 4 y (- 4 y)$

Étape 4.3.3.1.3.1.5.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$x^{2} - 3 x - 4 = x^{2} y^{2} - 4 x y^{2} - 4 y^{2} x - 4 y (- 4 y)$

Étape 4.3.3.1.3.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} - 3 x - 4 = x^{2} y^{2} - 4 x y^{2} - 4 y^{2} x - 4 \cdot - 4 y \cdot y$

Étape 4.3.3.1.3.1.7

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.3.1.3.1.7.1

Déplacez $y$ .

$x^{2} - 3 x - 4 = x^{2} y^{2} - 4 x y^{2} - 4 y^{2} x - 4 \cdot - 4 (y \cdot y)$

Étape 4.3.3.1.3.1.7.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$x^{2} - 3 x - 4 = x^{2} y^{2} - 4 x y^{2} - 4 y^{2} x - 4 \cdot - 4 y^{2}$

Étape 4.3.3.1.3.1.8

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$x^{2} - 3 x - 4 = x^{2} y^{2} - 4 x y^{2} - 4 y^{2} x + 16 y^{2}$

Étape 4.3.3.1.3.2

Soustrayez $4 y^{2} x$ de $- 4 x y^{2}$ .

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Étape 4.3.3.1.3.2.1

Déplacez $y^{2}$ .

$x^{2} - 3 x - 4 = x^{2} y^{2} - 4 x y^{2} - 4 x y^{2} + 16 y^{2}$

Étape 4.3.3.1.3.2.2

Soustrayez $4 x y^{2}$ de $- 4 x y^{2}$ .

$x^{2} - 3 x - 4 = x^{2} y^{2} - 8 x y^{2} + 16 y^{2}$

Étape 4.4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.4.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.4.1.1

Soustrayez $x^{2} y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 3 x - 4 - x^{2} y^{2} = - 8 x y^{2} + 16 y^{2}$

Étape 4.4.1.2

Ajoutez $8 x y^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 3 x - 4 - x^{2} y^{2} + 8 x y^{2} = 16 y^{2}$

Étape 4.4.2

Soustrayez $16 y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 3 x - 4 - x^{2} y^{2} + 8 x y^{2} - 16 y^{2} = 0$

Étape 4.4.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.4.4

Remplacez les valeurs $a = 1 - y^{2}$ , $b = - 3 + 8 y^{2}$ et $c = - 4 - 16 y^{2}$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- (- 3 + 8 y^{2}) \pm \sqrt{{(- 3 + 8 y^{2})}^{2} - 4 \cdot ((1 - y^{2}) \cdot (- 4 - 16 y^{2}))}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.4.5

Simplifiez

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Étape 4.4.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{3 - (8 y^{2}) \pm \sqrt{{(- 3 + 8 y^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - y^{2}) \cdot (- 4 - 16 y^{2})}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.4.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$x = \frac{3 - (8 y^{2}) \pm \sqrt{{(- 3 + 8 y^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - y^{2}) \cdot (- 4 - 16 y^{2})}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.4.5.1.3

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$x = \frac{3 - 8 y^{2} \pm \sqrt{{(- 3 + 8 y^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - y^{2}) \cdot (- 4 - 16 y^{2})}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.4.5.1.4

Réécrivez ${(- 3 + 8 y^{2})}^{2}$ comme $(- 3 + 8 y^{2}) (- 3 + 8 y^{2})$ .

$x = \frac{3 - 8 y^{2} \pm \sqrt{(- 3 + 8 y^{2}) (- 3 + 8 y^{2}) - 4 \cdot (1 - y^{2}) \cdot (- 4 - 16 y^{2})}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.4.5.1.5

Développez $(- 3 + 8 y^{2}) (- 3 + 8 y^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.4.5.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{3 - 8 y^{2} \pm \sqrt{- 3 (- 3 + 8 y^{2}) + 8 y^{2} (- 3 + 8 y^{2}) - 4 \cdot (1 - y^{2}) \cdot (- 4 - 16 y^{2})}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.4.5.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{3 - 8 y^{2} \pm \sqrt{- 3 \cdot - 3 - 3 (8 y^{2}) + 8 y^{2} (- 3 + 8 y^{2}) - 4 \cdot (1 - y^{2}) \cdot (- 4 - 16 y^{2})}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.4.5.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{3 - 8 y^{2} \pm \sqrt{- 3 \cdot - 3 - 3 (8 y^{2}) + 8 y^{2} \cdot - 3 + 8 y^{2} (8 y^{2}) - 4 \cdot (1 - y^{2}) \cdot (- 4 - 16 y^{2})}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.4.5.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.4.5.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.5.1.6.1.1

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$x = \frac{3 - 8 y^{2} \pm \sqrt{9 - 3 (8 y^{2}) + 8 y^{2} \cdot - 3 + 8 y^{2} (8 y^{2}) - 4 \cdot (1 - y^{2}) \cdot (- 4 - 16 y^{2})}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.4.5.1.6.1.2

Multipliez $8$ par $- 3$ .

$x = \frac{3 - 8 y^{2} \pm \sqrt{9 - 24 y^{2} + 8 y^{2} \cdot - 3 + 8 y^{2} (8 y^{2}) - 4 \cdot (1 - y^{2}) \cdot (- 4 - 16 y^{2})}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.4.5.1.6.1.3

Multipliez $- 3$ par $8$ .

$x = \frac{3 - 8 y^{2} \pm \sqrt{9 - 24 y^{2} - 24 y^{2} + 8 y^{2} (8 y^{2}) - 4 \cdot (1 - y^{2}) \cdot (- 4 - 16 y^{2})}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.4.5.1.6.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x = \frac{3 - 8 y^{2} \pm \sqrt{9 - 24 y^{2} - 24 y^{2} + 8 \cdot (8 y^{2} y^{2}) - 4 \cdot (1 - y^{2}) \cdot (- 4 - 16 y^{2})}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.4.5.1.6.1.5

Multipliez $y^{2}$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.5.1.6.1.5.1

Déplacez $y^{2}$ .

$x = \frac{3 - 8 y^{2} \pm \sqrt{9 - 24 y^{2} - 24 y^{2} + 8 \cdot (8 (y^{2} y^{2})) - 4 \cdot (1 - y^{2}) \cdot (- 4 - 16 y^{2})}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.4.5.1.6.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{3 - 8 y^{2} \pm \sqrt{9 - 24 y^{2} - 24 y^{2} + 8 \cdot (8 y^{2 + 2}) - 4 \cdot (1 - y^{2}) \cdot (- 4 - 16 y^{2})}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.4.5.1.6.1.5.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$x = \frac{3 - 8 y^{2} \pm \sqrt{9 - 24 y^{2} - 24 y^{2} + 8 \cdot (8 y^{4}) - 4 \cdot (1 - y^{2}) \cdot (- 4 - 16 y^{2})}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.4.5.1.6.1.6

Multipliez $8$ par $8$ .

$x = \frac{3 - 8 y^{2} \pm \sqrt{9 - 24 y^{2} - 24 y^{2} + 64 y^{4} - 4 \cdot (1 - y^{2}) \cdot (- 4 - 16 y^{2})}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.4.5.1.6.2

Soustrayez $24 y^{2}$ de $- 24 y^{2}$ .

$x = \frac{3 - 8 y^{2} \pm \sqrt{9 - 48 y^{2} + 64 y^{4} - 4 \cdot (1 - y^{2}) \cdot (- 4 - 16 y^{2})}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.4.5.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{3 - 8 y^{2} \pm \sqrt{9 - 48 y^{2} + 64 y^{4} + (- 4 \cdot 1 - 4 (- y^{2})) \cdot (- 4 - 16 y^{2})}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.4.5.1.8

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{3 - 8 y^{2} \pm \sqrt{9 - 48 y^{2} + 64 y^{4} + (- 4 - 4 (- y^{2})) \cdot (- 4 - 16 y^{2})}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.4.5.1.9

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$x = \frac{3 - 8 y^{2} \pm \sqrt{9 - 48 y^{2} + 64 y^{4} + (- 4 + 4 y^{2}) \cdot (- 4 - 16 y^{2})}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.4.5.1.10

Développez $(- 4 + 4 y^{2}) (- 4 - 16 y^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.4.5.1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{3 - 8 y^{2} \pm \sqrt{9 - 48 y^{2} + 64 y^{4} - 4 (- 4 - 16 y^{2}) + 4 y^{2} (- 4 - 16 y^{2})}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.4.5.1.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{3 - 8 y^{2} \pm \sqrt{9 - 48 y^{2} + 64 y^{4} - 4 \cdot - 4 - 4 (- 16 y^{2}) + 4 y^{2} (- 4 - 16 y^{2})}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.4.5.1.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{3 - 8 y^{2} \pm \sqrt{9 - 48 y^{2} + 64 y^{4} - 4 \cdot - 4 - 4 (- 16 y^{2}) + 4 y^{2} \cdot - 4 + 4 y^{2} (- 16 y^{2})}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.4.5.1.11

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.4.5.1.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.5.1.11.1.1

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$x = \frac{3 - 8 y^{2} \pm \sqrt{9 - 48 y^{2} + 64 y^{4} + 16 - 4 (- 16 y^{2}) + 4 y^{2} \cdot - 4 + 4 y^{2} (- 16 y^{2})}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.4.5.1.11.1.2

Multipliez $- 16$ par $- 4$ .

$x = \frac{3 - 8 y^{2} \pm \sqrt{9 - 48 y^{2} + 64 y^{4} + 16 + 64 y^{2} + 4 y^{2} \cdot - 4 + 4 y^{2} (- 16 y^{2})}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.4.5.1.11.1.3

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{3 - 8 y^{2} \pm \sqrt{9 - 48 y^{2} + 64 y^{4} + 16 + 64 y^{2} - 16 y^{2} + 4 y^{2} (- 16 y^{2})}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.4.5.1.11.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x = \frac{3 - 8 y^{2} \pm \sqrt{9 - 48 y^{2} + 64 y^{4} + 16 + 64 y^{2} - 16 y^{2} + 4 \cdot (- 16 y^{2} y^{2})}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.4.5.1.11.1.5

Multipliez $y^{2}$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.5.1.11.1.5.1

Déplacez $y^{2}$ .

$x = \frac{3 - 8 y^{2} \pm \sqrt{9 - 48 y^{2} + 64 y^{4} + 16 + 64 y^{2} - 16 y^{2} + 4 \cdot (- 16 (y^{2} y^{2}))}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.4.5.1.11.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{3 - 8 y^{2} \pm \sqrt{9 - 48 y^{2} + 64 y^{4} + 16 + 64 y^{2} - 16 y^{2} + 4 \cdot (- 16 y^{2 + 2})}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.4.5.1.11.1.5.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$x = \frac{3 - 8 y^{2} \pm \sqrt{9 - 48 y^{2} + 64 y^{4} + 16 + 64 y^{2} - 16 y^{2} + 4 \cdot (- 16 y^{4})}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.4.5.1.11.1.6

Multipliez $4$ par $- 16$ .

$x = \frac{3 - 8 y^{2} \pm \sqrt{9 - 48 y^{2} + 64 y^{4} + 16 + 64 y^{2} - 16 y^{2} - 64 y^{4}}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.4.5.1.11.2

Soustrayez $16 y^{2}$ de $64 y^{2}$ .

$x = \frac{3 - 8 y^{2} \pm \sqrt{9 - 48 y^{2} + 64 y^{4} + 16 + 48 y^{2} - 64 y^{4}}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.4.5.1.12

Additionnez $9$ et $16$ .

$x = \frac{3 - 8 y^{2} \pm \sqrt{- 48 y^{2} + 64 y^{4} + 25 + 48 y^{2} - 64 y^{4}}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.4.5.1.13

Additionnez $- 48 y^{2}$ et $48 y^{2}$ .

$x = \frac{3 - 8 y^{2} \pm \sqrt{64 y^{4} + 25 + 0 - 64 y^{4}}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.4.5.1.14

Additionnez $64 y^{4}$ et $0$ .

$x = \frac{3 - 8 y^{2} \pm \sqrt{64 y^{4} + 25 - 64 y^{4}}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.4.5.1.15

Soustrayez $64 y^{4}$ de $64 y^{4}$ .

$x = \frac{3 - 8 y^{2} \pm \sqrt{0 + 25}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.4.5.1.16

Additionnez $0$ et $25$ .

$x = \frac{3 - 8 y^{2} \pm \sqrt{25}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.4.5.1.17

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x = \frac{3 - 8 y^{2} \pm \sqrt{5^{2}}}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.4.5.1.18

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{3 - 8 y^{2} \pm 5}{2 (1 - y^{2})}$

Étape 4.4.5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.4.5.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x = \frac{3 - 8 y^{2} \pm 5}{2 (1^{2} - y^{2})}$

Étape 4.4.5.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = y$ .

$x = \frac{3 - 8 y^{2} \pm 5}{2 (1 + y) (1 - y)}$

Étape 4.4.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 4$

$x = - \frac{4 y^{2} + 1}{(1 + y) (1 - y)}$

$x = 4$

$x = - \frac{4 y^{2} + 1}{(1 + y) (1 - y)}$

$x = 4$

$x = - \frac{4 y^{2} + 1}{(1 + y) (1 - y)}$