Algèbre Exemples

$4 x^{4} - 4 x^{2} - x^{2} + 1 = 0$

Étape 1

Soustrayez $x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$4 x^{4} - 5 x^{2} + 1 = 0$

Étape 2

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$4 u^{2} - 5 u + 1 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot 1 = 4$ et dont la somme est $b = - 5$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 u$ .

$4 u^{2} - 5 u + 1 = 0$

Étape 3.1.2

Réécrivez $- 5$ comme $- 1$ plus $- 4$

$4 u^{2} + (- 1 - 4) u + 1 = 0$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 u^{2} - 1 u - 4 u + 1 = 0$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(4 u^{2} - 1 u) - 4 u + 1 = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (4 u - 1) - (4 u - 1) = 0$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u - 1) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 u - 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Étape 5

Définissez $4 u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 5.1

Définissez $4 u - 1$ égal à $0$ .

$4 u - 1 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $4 u - 1 = 0$ pour $u$ .

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Étape 5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$4 u = 1$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $4 u = 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 u = 1$ par $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{1}{4}$

Étape 6

Définissez $u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 6.1

Définissez $u - 1$ égal à $0$ .

$u - 1 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 1$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(4 u - 1) (u - 1) = 0$ vraie.

$u = \frac{1}{4}, 1$

Étape 8

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

${(x^{2})}^{1} = 1$

Étape 9

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Étape 10

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 10.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Étape 10.2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Étape 10.2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Étape 10.2.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Étape 10.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 10.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Étape 10.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 10.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 10.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 10.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Étape 11

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 1$

Étape 12

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 12.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = 1$

Étape 12.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 12.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 12.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 12.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 12.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 12.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 13

La solution à $4 x^{4} - 5 x^{2} + 1 = 0$ est $x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 1, - 1$ .

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 1, - 1$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 1, - 1$

Forme décimale :

$x = 0.5, - 0.5, 1, - 1$