Algèbre Exemples

$y + \frac{y^{2} - 5}{y^{2} - 1} = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1}$

Étape 1

Factorisez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y + \frac{y^{2} - 5}{y^{2} - 1^{2}} = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 1$ .

$y + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1}$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, (y + 1) (y - 1), y + 1$

Étape 2.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.3

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.4

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 2.5

Le facteur pour $y + 1$ est $y + 1$ lui-même.

$(y + 1) = y + 1$

$(y + 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.6

Le facteur pour $y - 1$ est $y - 1$ lui-même.

$(y - 1) = y - 1$

$(y - 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.7

Le facteur pour $y + 1$ est $y + 1$ lui-même.

$(y + 1) = y + 1$

$(y + 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.8

Le plus petit multiple commun de $y + 1, y - 1, y + 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$(y + 1) (y - 1)$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $y + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1}$ par $(y + 1) (y - 1)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $y + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1}$ par $(y + 1) (y - 1)$ .

$y ((y + 1) (y - 1)) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Développez $(y + 1) (y - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y (y (y - 1) + 1 (y - 1)) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Étape 3.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y (y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1)) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Étape 3.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y (y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.2.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$y (y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Étape 3.2.1.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $y$ .

$y (y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Étape 3.2.1.2.1.3

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$y (y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Étape 3.2.1.2.1.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$y (y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Étape 3.2.1.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y (y^{2} - y + y - 1) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Étape 3.2.1.2.2

Additionnez $- y$ et $y$ .

$y (y^{2} + 0 - 1) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Étape 3.2.1.2.3

Additionnez $y^{2}$ et $0$ .

$y (y^{2} - 1) + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Étape 3.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y \cdot y^{2} + y \cdot - 1 + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Étape 3.2.1.4

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.4.1

Multipliez $y$ par $y^{2}$ .

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Étape 3.2.1.4.1.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y^{1} y^{2} + y \cdot - 1 + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Étape 3.2.1.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y^{1 + 2} + y \cdot - 1 + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Étape 3.2.1.4.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$y^{3} + y \cdot - 1 + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Étape 3.2.1.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $y$ .

$y^{3} - 1 \cdot y + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Étape 3.2.1.6

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$y^{3} - y + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Étape 3.2.1.7

Annulez le facteur commun de $(y + 1) (y - 1)$ .

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Étape 3.2.1.7.1

Annulez le facteur commun.

$y^{3} - y + \frac{y^{2} - 5}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Étape 3.2.1.7.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $y + 1$ .

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1))$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = (y^{2} + y + 2) (y - 1)$

Étape 3.3.2

Développez $(y^{2} + y + 2) (y - 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{2} y + y^{2} \cdot - 1 + y \cdot y + y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1$

Étape 3.3.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1.1

Multipliez $y^{2}$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.3.1.1.1

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 3.3.3.1.1.1.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{2} y^{1} + y^{2} \cdot - 1 + y \cdot y + y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1$

Étape 3.3.3.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{2 + 1} + y^{2} \cdot - 1 + y \cdot y + y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1$

Étape 3.3.3.1.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{3} + y^{2} \cdot - 1 + y \cdot y + y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1$

Étape 3.3.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $y^{2}$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{3} - 1 \cdot y^{2} + y \cdot y + y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1$

Étape 3.3.3.1.3

Réécrivez $- 1 y^{2}$ comme $- y^{2}$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{3} - y^{2} + y \cdot y + y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1$

Étape 3.3.3.1.4

Multipliez $y$ par $y$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{3} - y^{2} + y^{2} + y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1$

Étape 3.3.3.1.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $y$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{3} - y^{2} + y^{2} - 1 \cdot y + 2 y + 2 \cdot - 1$

Étape 3.3.3.1.6

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{3} - y^{2} + y^{2} - y + 2 y + 2 \cdot - 1$

Étape 3.3.3.1.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{3} - y^{2} + y^{2} - y + 2 y - 2$

Étape 3.3.3.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.3.3.2.1

Associez les termes opposés dans $y^{3} - y^{2} + y^{2} - y + 2 y - 2$ .

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Étape 3.3.3.2.1.1

Additionnez $- y^{2}$ et $y^{2}$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{3} + 0 - y + 2 y - 2$

Étape 3.3.3.2.1.2

Additionnez $y^{3}$ et $0$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{3} - y + 2 y - 2$

Étape 3.3.3.2.2

Additionnez $- y$ et $2 y$ .

$y^{3} - y + y^{2} - 5 = y^{3} + y - 2$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1.1

Soustrayez $y^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$y^{3} - y + y^{2} - 5 - y^{3} = y - 2$

Étape 4.1.2

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$y^{3} - y + y^{2} - 5 - y^{3} - y = - 2$

Étape 4.1.3

Associez les termes opposés dans $y^{3} - y + y^{2} - 5 - y^{3} - y$ .

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Étape 4.1.3.1

Soustrayez $y^{3}$ de $y^{3}$ .

$- y + y^{2} - 5 + 0 - y = - 2$

Étape 4.1.3.2

Additionnez $- y + y^{2} - 5$ et $0$ .

$- y + y^{2} - 5 - y = - 2$

Étape 4.1.4

Soustrayez $y$ de $- y$ .

$- 2 y + y^{2} - 5 = - 2$

Étape 4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 y + y^{2} - 5 + 2 = 0$

Étape 4.3

Additionnez $- 5$ et $2$ .

$- 2 y + y^{2} - 3 = 0$

Étape 4.4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.4.1

Laissez $u = y$ . Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $u$ .

$- 2 u + u^{2} - 3 = 0$

Étape 4.4.2

Factorisez $- 2 u + u^{2} - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.4.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 3, 1$

Étape 4.4.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 3) (u + 1) = 0$

Étape 4.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$(y - 3) (y + 1) = 0$

Étape 4.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y - 3 = 0$

$y + 1 = 0$

Étape 4.6

Définissez $y - 3$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 4.6.1

Définissez $y - 3$ égal à $0$ .

$y - 3 = 0$

Étape 4.6.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 3$

Étape 4.7

Définissez $y + 1$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 4.7.1

Définissez $y + 1$ égal à $0$ .

$y + 1 = 0$

Étape 4.7.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 1$

Étape 4.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(y - 3) (y + 1) = 0$ vraie.

$y = 3, - 1$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $y + \frac{y^{2} - 5}{y^{2} - 1} = \frac{y^{2} + y + 2}{y + 1}$ vrai.

$y = 3$