Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} < x$

Étape 1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} - x < 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} - x$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $- x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} - x \cdot \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} < 0$

Étape 2.2

Associez $- x$ et $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} + \frac{- x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} < 0$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} < 0$

Étape 2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x \cdot x^{2} - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - (x^{2} x) - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

Étape 2.4.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 2.4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - (x^{2} x^{1}) - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

Étape 2.4.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x^{2 + 1} - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

Étape 2.4.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x^{3} - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x^{3} - x}{x^{2} + 1} < 0$

Étape 2.4.4

Soustrayez $x$ de $4 x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 3 - x^{3}}{x^{2} + 1} < 0$

Étape 2.4.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x^{3} + x^{2} + 3 x - 3}{x^{2} + 1} < 0$

Étape 2.4.6

Réécrivez $- x^{3} + x^{2} + 3 x - 3$ en forme factorisée.

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Étape 2.4.6.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.4.6.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(- x^{3} + x^{2}) + 3 x - 3}{x^{2} + 1} < 0$

Étape 2.4.6.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x^{2} (- x + 1) - 3 (- x + 1)}{x^{2} + 1} < 0$

Étape 2.4.6.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 1$ .

$\frac{(- x + 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

Étape 2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{(- (x) + 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

Étape 2.6

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (- 1)) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

Étape 2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x - 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

Étape 2.8

Réécrivez $- (x - 1)$ comme $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x - 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

Étape 2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(x - 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x - 1 = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Étape 4

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 5

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 3$

Étape 6

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{3}$

Étape 7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{3}$

Étape 7.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{3}$

Étape 7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 8

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 1$

Étape 9

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 10

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i$

Étape 11

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 11.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i$

Étape 11.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i$

Étape 11.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i, - i$

Étape 12

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 1$

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = i, - i$

Étape 13

Consolidez les solutions.

$x = 1, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 14

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \sqrt{3}$

$- \sqrt{3} < x < 1$

$1 < x < \sqrt{3}$

$x > \sqrt{3}$

Étape 15

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 15.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \sqrt{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \sqrt{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 15.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 4)}^{2} + 4 (- 4) - 3}{{(- 4)}^{2} + 1} < - 4$

Étape 15.1.3

Le côté gauche $- 0.17647058$ n’est pas inférieur au côté droit $- 4$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 15.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \sqrt{3} < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \sqrt{3} < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 15.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(0)}^{2} + 4 (0) - 3}{{(0)}^{2} + 1} < 0$

Étape 15.2.3

Le côté gauche $- 3$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 15.3

Testez une valeur sur l’intervalle $1 < x < \sqrt{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 < x < \sqrt{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1.37$

Étape 15.3.2

Remplacez $x$ par $1.37$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(1.37)}^{2} + 4 (1.37) - 3}{{(1.37)}^{2} + 1} < 1.37$

Étape 15.3.3

Le côté gauche $1.51444262$ n’est pas inférieur au côté droit $1.37$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 15.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \sqrt{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \sqrt{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 15.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(4)}^{2} + 4 (4) - 3}{{(4)}^{2} + 1} < 4$

Étape 15.4.3

Le côté gauche $1.70588235$ est inférieur au côté droit $4$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 15.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \sqrt{3}$ Faux

$- \sqrt{3} < x < 1$ Vrai

$1 < x < \sqrt{3}$ Faux

$x > \sqrt{3}$ Vrai

$x < - \sqrt{3}$ Faux

$- \sqrt{3} < x < 1$ Vrai

$1 < x < \sqrt{3}$ Faux

$x > \sqrt{3}$ Vrai

Étape 16

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- \sqrt{3} < x < 1$ ou $x > \sqrt{3}$

Étape 17

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- \sqrt{3} < x < 1 or x > \sqrt{3}$

Notation d’intervalle :

$(- \sqrt{3}, 1) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

Étape 18