Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} + 15 x + 50}{- x^{2} - 10 x} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 16}{x^{2} + 7 x + 10} \div \frac{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}{25 - x^{2}}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{x^{2} + 15 x + 50}{- x^{2} - 10 x} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 16}{x^{2} + 7 x + 10} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Étape 2

Factorisez $x^{2} + 15 x + 50$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $50$ et dont la somme est $15$ .

$5, 10$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{- x^{2} - 10 x} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 16}{x^{2} + 7 x + 10} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Étape 3

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2} - 10 x$ .

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Étape 3.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{x (- x) - 10 x} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 16}{x^{2} + 7 x + 10} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Étape 3.2

Factorisez $x$ à partir de $- 10 x$ .

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{x (- x) + x \cdot - 10} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 16}{x^{2} + 7 x + 10} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Étape 3.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- x) + x \cdot - 10$ .

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 16}{x^{2} + 7 x + 10} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Étape 4

Factorisez $x^{2} + 10 x + 16$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $16$ et dont la somme est $10$ .

$2, 8$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 8)}{x^{2} + 7 x + 10} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Étape 5

Factorisez $x^{2} + 7 x + 10$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $10$ et dont la somme est $7$ .

$2, 5$

Étape 5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 8)}{(x + 2) (x + 5)} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun de $x + 5$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $x + 5$ à partir de $(x + 2) (x + 5)$ .

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 8)}{(x + 5) (x + 2)} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Étape 6.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 8)}{(x + 5) (x + 2)} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Étape 6.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 10}{x (- x - 10)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 8)}{x + 2} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Étape 6.2

Multipliez $\frac{x + 10}{x (- x - 10)}$ par $\frac{(x + 2) (x + 8)}{x + 2}$ .

$\frac{(x + 10) ((x + 2) (x + 8))}{x (- x - 10) (x + 2)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 6.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 10) ((x + 2) (x + 8))}{x (- x - 10) (x + 2)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Étape 6.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + 10) (x + 8)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun à $x + 10$ et $- x - 10$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{(- 1 (- x) + 10) (x + 8)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Étape 6.4.2

Réécrivez $10$ comme $- 1 (- 10)$ .

$\frac{(- 1 (- x) - 1 (- 10)) (x + 8)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Étape 6.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x) - 1 (- 10)$ .

$\frac{- 1 (- x - 10) (x + 8)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Étape 6.4.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (- x - 10) (x + 8)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Étape 6.4.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 (x + 8)}{x} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Étape 6.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{5^{2} - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Étape 7.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 5$ et $b = x$ .

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

Étape 8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} + 13 x^{2} + 40 x$ .

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Étape 8.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x \cdot x^{2} + 13 x^{2} + 40 x}$

Étape 8.1.2

Factorisez $x$ à partir de $13 x^{2}$ .

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x \cdot x^{2} + x (13 x) + 40 x}$

Étape 8.1.3

Factorisez $x$ à partir de $40 x$ .

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x \cdot x^{2} + x (13 x) + x \cdot 40}$

Étape 8.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x (13 x)$ .

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x (x^{2} + 13 x) + x \cdot 40}$

Étape 8.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{2} + 13 x) + x \cdot 40$ .

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x (x^{2} + 13 x + 40)}$

Étape 8.2

Factorisez $x^{2} + 13 x + 40$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 8.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $40$ et dont la somme est $13$ .

$5, 8$

Étape 8.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x ((x + 5) (x + 8))}$

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x (x + 5) (x + 8)}$

Étape 9

Simplifiez les termes.

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun de $x + 8$ .

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Étape 9.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x + 8}{x}$ dans le numérateur.

$\frac{- (x + 8)}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x (x + 5) (x + 8)}$

Étape 9.1.2

Factorisez $x + 8$ à partir de $- (x + 8)$ .

$\frac{(x + 8) \cdot - 1}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x (x + 5) (x + 8)}$

Étape 9.1.3

Factorisez $x + 8$ à partir de $x (x + 5) (x + 8)$ .

$\frac{(x + 8) \cdot - 1}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{(x + 8) (x (x + 5))}$

Étape 9.1.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 8) \cdot - 1}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{(x + 8) (x (x + 5))}$

Étape 9.1.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x (x + 5)}$

Étape 9.2

Multipliez $\frac{- 1}{x}$ par $\frac{(5 + x) (5 - x)}{x (x + 5)}$ .

$\frac{- ((5 + x) (5 - x))}{x (x (x + 5))}$

Étape 10

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- ((5 + x) (5 - x))}{x^{1} x (x + 5)}$

Étape 11

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- ((5 + x) (5 - x))}{x^{1} x^{1} (x + 5)}$

Étape 12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- ((5 + x) (5 - x))}{x^{1 + 1} (x + 5)}$

Étape 13

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- ((5 + x) (5 - x))}{x^{2} (x + 5)}$

Étape 14

Annulez le facteur commun à $5 + x$ et $x + 5$ .

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Étape 14.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- ((x + 5) (5 - x))}{x^{2} (x + 5)}$

Étape 14.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- ((x + 5) (5 - x))}{x^{2} (x + 5)}$

Étape 14.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- (5 - x)}{x^{2}}$

Étape 15

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5 - x}{x^{2}}$