Algèbre Exemples

$d = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}} = d$ .

$\sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}} = d$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}}^{2} = d^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$ comme ${({(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({({(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = d^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({({(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({({(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${({(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = d^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${({(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = d^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${({(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2})}^{1} = d^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

${(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} = d^{2}$

Étape 4

Résolvez $y_{1}$ .

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Étape 4.1

Soustrayez ${(x_{2} - x_{1})}^{2}$ des deux côtés de l’équation.

${(y_{2} - y_{1})}^{2} = d^{2} - {(x_{2} - x_{1})}^{2}$

Étape 4.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y_{2} - y_{1} = \pm \sqrt{d^{2} - {(x_{2} - x_{1})}^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez $\pm \sqrt{d^{2} - {(x_{2} - x_{1})}^{2}}$ .

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Étape 4.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = d$ et $b = x_{2} - x_{1}$ .

$y_{2} - y_{1} = \pm \sqrt{(d + x_{2} - x_{1}) (d - (x_{2} - x_{1}))}$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y_{2} - y_{1} = \pm \sqrt{(d + x_{2} - x_{1}) (d - x_{2} - - x_{1})}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $- - x_{1}$ .

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Étape 4.3.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y_{2} - y_{1} = \pm \sqrt{(d + x_{2} - x_{1}) (d - x_{2} + 1 x_{1})}$

Étape 4.3.2.2.2

Multipliez $x_{1}$ par $1$ .

$y_{2} - y_{1} = \pm \sqrt{(d + x_{2} - x_{1}) (d - x_{2} + x_{1})}$

Étape 4.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y_{2} - y_{1} = \sqrt{(d + x_{2} - x_{1}) (d - x_{2} + x_{1})}$

Étape 4.4.2

Soustrayez $y_{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- y_{1} = \sqrt{(d + x_{2} - x_{1}) (d - x_{2} + x_{1})} - y_{2}$

Étape 4.4.3

Divisez chaque terme dans $- y_{1} = \sqrt{(d + x_{2} - x_{1}) (d - x_{2} + x_{1})} - y_{2}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.4.3.1

Divisez chaque terme dans $- y_{1} = \sqrt{(d + x_{2} - x_{1}) (d - x_{2} + x_{1})} - y_{2}$ par $- 1$ .

$\frac{- y_{1}}{- 1} = \frac{\sqrt{(d + x_{2} - x_{1}) (d - x_{2} + x_{1})}}{- 1} + \frac{- y_{2}}{- 1}$

Étape 4.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y_{1}}{1} = \frac{\sqrt{(d + x_{2} - x_{1}) (d - x_{2} + x_{1})}}{- 1} + \frac{- y_{2}}{- 1}$

Étape 4.4.3.2.2

Divisez $y_{1}$ par $1$ .

$y_{1} = \frac{\sqrt{(d + x_{2} - x_{1}) (d - x_{2} + x_{1})}}{- 1} + \frac{- y_{2}}{- 1}$

Étape 4.4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.3.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\sqrt{(d + x_{2} - x_{1}) (d - x_{2} + x_{1})}}{- 1}$ .

$y_{1} = - 1 \cdot \sqrt{(d + x_{2} - x_{1}) (d - x_{2} + x_{1})} + \frac{- y_{2}}{- 1}$

Étape 4.4.3.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot \sqrt{(d + x_{2} - x_{1}) (d - x_{2} + x_{1})}$ comme $- \sqrt{(d + x_{2} - x_{1}) (d - x_{2} + x_{1})}$ .

$y_{1} = - \sqrt{(d + x_{2} - x_{1}) (d - x_{2} + x_{1})} + \frac{- y_{2}}{- 1}$

Étape 4.4.3.3.1.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y_{1} = - \sqrt{(d + x_{2} - x_{1}) (d - x_{2} + x_{1})} + \frac{y_{2}}{1}$

Étape 4.4.3.3.1.4

Divisez $y_{2}$ par $1$ .

$y_{1} = - \sqrt{(d + x_{2} - x_{1}) (d - x_{2} + x_{1})} + y_{2}$

Étape 4.4.4

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y_{2} - y_{1} = - \sqrt{(d + x_{2} - x_{1}) (d - x_{2} + x_{1})}$

Étape 4.4.5

Soustrayez $y_{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- y_{1} = - \sqrt{(d + x_{2} - x_{1}) (d - x_{2} + x_{1})} - y_{2}$

Étape 4.4.6

Divisez chaque terme dans $- y_{1} = - \sqrt{(d + x_{2} - x_{1}) (d - x_{2} + x_{1})} - y_{2}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.4.6.1

Divisez chaque terme dans $- y_{1} = - \sqrt{(d + x_{2} - x_{1}) (d - x_{2} + x_{1})} - y_{2}$ par $- 1$ .

$\frac{- y_{1}}{- 1} = \frac{- \sqrt{(d + x_{2} - x_{1}) (d - x_{2} + x_{1})}}{- 1} + \frac{- y_{2}}{- 1}$

Étape 4.4.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.6.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y_{1}}{1} = \frac{- \sqrt{(d + x_{2} - x_{1}) (d - x_{2} + x_{1})}}{- 1} + \frac{- y_{2}}{- 1}$

Étape 4.4.6.2.2

Divisez $y_{1}$ par $1$ .

$y_{1} = \frac{- \sqrt{(d + x_{2} - x_{1}) (d - x_{2} + x_{1})}}{- 1} + \frac{- y_{2}}{- 1}$

Étape 4.4.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.6.3.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y_{1} = \frac{\sqrt{(d + x_{2} - x_{1}) (d - x_{2} + x_{1})}}{1} + \frac{- y_{2}}{- 1}$

Étape 4.4.6.3.1.2

Divisez $\sqrt{(d + x_{2} - x_{1}) (d - x_{2} + x_{1})}$ par $1$ .

$y_{1} = \sqrt{(d + x_{2} - x_{1}) (d - x_{2} + x_{1})} + \frac{- y_{2}}{- 1}$

Étape 4.4.6.3.1.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y_{1} = \sqrt{(d + x_{2} - x_{1}) (d - x_{2} + x_{1})} + \frac{y_{2}}{1}$

Étape 4.4.6.3.1.4

Divisez $y_{2}$ par $1$ .

$y_{1} = \sqrt{(d + x_{2} - x_{1}) (d - x_{2} + x_{1})} + y_{2}$

Étape 4.4.7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y_{1} = - \sqrt{(d + x_{2} - x_{1}) (d - x_{2} + x_{1})} + y_{2}$

$y_{1} = \sqrt{(d + x_{2} - x_{1}) (d - x_{2} + x_{1})} + y_{2}$

$y_{1} = - \sqrt{(d + x_{2} - x_{1}) (d - x_{2} + x_{1})} + y_{2}$

$y_{1} = \sqrt{(d + x_{2} - x_{1}) (d - x_{2} + x_{1})} + y_{2}$

$y_{1} = - \sqrt{(d + x_{2} - x_{1}) (d - x_{2} + x_{1})} + y_{2}$

$y_{1} = \sqrt{(d + x_{2} - x_{1}) (d - x_{2} + x_{1})} + y_{2}$