Algèbre Exemples

$\tan (2 θ) + \tan (θ) = 0$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Appliquez l’identité d’angle double de la tangente.

$\frac{2 \tan (θ)}{1 - \tan^{2} (θ)} + \tan (θ) = 0$

Étape 1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{2 \tan (θ)}{1^{2} - \tan^{2} (θ)} + \tan (θ) = 0$

Étape 1.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \tan (θ)$ .

$\frac{2 \tan (θ)}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + \tan (θ) = 0$

Étape 2

Factorisez $\tan (θ)$ à partir de $\frac{2 \tan (θ)}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + \tan (θ)$ .

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Étape 2.1

Factorisez $\tan (θ)$ à partir de $\frac{2 \tan (θ)}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))}$ .

$\tan (θ) \frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + \tan (θ) = 0$

Étape 2.2

Élevez $\tan (θ)$ à la puissance $1$ .

$\tan (θ) \frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + \tan (θ) = 0$

Étape 2.3

Factorisez $\tan (θ)$ à partir de $\tan^{1} (θ)$ .

$\tan (θ) \frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + \tan (θ) \cdot 1 = 0$

Étape 2.4

Factorisez $\tan (θ)$ à partir de $\tan (θ) \frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + \tan (θ) \cdot 1$ .

$\tan (θ) (\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\tan (θ) = 0$

$\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1 = 0$

Étape 4

Définissez $\tan (θ)$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

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Étape 4.1

Définissez $\tan (θ)$ égal à $0$ .

$\tan (θ) = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\tan (θ) = 0$ pour $θ$ .

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Étape 4.2.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la tangente.

$θ = \arctan (0)$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.1

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$θ = 0$

Étape 4.2.3

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$θ = π + 0$

Étape 4.2.4

Additionnez $π$ et $0$ .

$θ = π$

Étape 4.2.5

Déterminez la période de $\tan (θ)$ .

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Étape 4.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 4.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 4.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 4.2.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 4.2.6

La période de la fonction $\tan (θ)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$θ = π n, π + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Définissez $\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

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Étape 5.1

Définissez $\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1$ égal à $0$ .

$\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1 = 0$ pour $θ$ .

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Étape 5.2.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.2.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)), 1, 1$

Étape 5.2.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))$

Étape 5.2.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1 = 0$ par $(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.2.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1 = 0$ par $(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))$ .

$\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))) + 1 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))$ .

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Étape 5.2.2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))) + 1 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Étape 5.2.2.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 + 1 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Étape 5.2.2.2.1.2

Multipliez $(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))$ par $1$ .

$2 + (1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Étape 5.2.2.2.1.3

Développez $(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.2.2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 + 1 (1 - \tan (θ)) + \tan (θ) (1 - \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Étape 5.2.2.2.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 + 1 \cdot 1 + 1 (- \tan (θ)) + \tan (θ) (1 - \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Étape 5.2.2.2.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 + 1 \cdot 1 + 1 (- \tan (θ)) + \tan (θ) \cdot 1 + \tan (θ) (- \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Étape 5.2.2.2.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.2.2.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.2.1.4.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$2 + 1 + 1 (- \tan (θ)) + \tan (θ) \cdot 1 + \tan (θ) (- \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Étape 5.2.2.2.1.4.1.2

Multipliez $- \tan (θ)$ par $1$ .

$2 + 1 - \tan (θ) + \tan (θ) \cdot 1 + \tan (θ) (- \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Étape 5.2.2.2.1.4.1.3

Multipliez $\tan (θ)$ par $1$ .

$2 + 1 - \tan (θ) + \tan (θ) + \tan (θ) (- \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Étape 5.2.2.2.1.4.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 + 1 - \tan (θ) + \tan (θ) - \tan (θ) \tan (θ) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Étape 5.2.2.2.1.4.1.5

Multipliez $\tan (θ)$ par $\tan (θ)$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.2.1.4.1.5.1

Déplacez $\tan (θ)$ .

$2 + 1 - \tan (θ) + \tan (θ) - (\tan (θ) \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Étape 5.2.2.2.1.4.1.5.2

Multipliez $\tan (θ)$ par $\tan (θ)$ .

$2 + 1 - \tan (θ) + \tan (θ) - \tan^{2} (θ) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Étape 5.2.2.2.1.4.2

Additionnez $- \tan (θ)$ et $\tan (θ)$ .

$2 + 1 + 0 - \tan^{2} (θ) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Étape 5.2.2.2.1.4.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 + 1 - \tan^{2} (θ) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Étape 5.2.2.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

Étape 5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.3.1

Développez $(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 (1 - \tan (θ)) + \tan (θ) (1 - \tan (θ)))$

Étape 5.2.2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (θ)) + \tan (θ) (1 - \tan (θ)))$

Étape 5.2.2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (θ)) + \tan (θ) \cdot 1 + \tan (θ) (- \tan (θ)))$

Étape 5.2.2.3.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.3.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 + 1 (- \tan (θ)) + \tan (θ) \cdot 1 + \tan (θ) (- \tan (θ)))$

Étape 5.2.2.3.2.1.2

Multipliez $- \tan (θ)$ par $1$ .

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 - \tan (θ) + \tan (θ) \cdot 1 + \tan (θ) (- \tan (θ)))$

Étape 5.2.2.3.2.1.3

Multipliez $\tan (θ)$ par $1$ .

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 - \tan (θ) + \tan (θ) + \tan (θ) (- \tan (θ)))$

Étape 5.2.2.3.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 - \tan (θ) + \tan (θ) - \tan (θ) \tan (θ))$

Étape 5.2.2.3.2.1.5

Multipliez $\tan (θ)$ par $\tan (θ)$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.3.2.1.5.1

Déplacez $\tan (θ)$ .

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 - \tan (θ) + \tan (θ) - (\tan (θ) \tan (θ)))$

Étape 5.2.2.3.2.1.5.2

Multipliez $\tan (θ)$ par $\tan (θ)$ .

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 - \tan (θ) + \tan (θ) - \tan^{2} (θ))$

Étape 5.2.2.3.2.2

Additionnez $- \tan (θ)$ et $\tan (θ)$ .

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 + 0 - \tan^{2} (θ))$

Étape 5.2.2.3.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 - \tan^{2} (θ))$

Étape 5.2.2.3.3

Multipliez $0$ par $1 - \tan^{2} (θ)$ .

$3 - \tan^{2} (θ) = 0$

Étape 5.2.3

Résolvez l’équation.

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Étape 5.2.3.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- \tan^{2} (θ) = - 3$

Étape 5.2.3.2

Divisez chaque terme dans $- \tan^{2} (θ) = - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.2.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- \tan^{2} (θ) = - 3$ par $- 1$ .

$\frac{- \tan^{2} (θ)}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 5.2.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\tan^{2} (θ)}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 5.2.3.2.2.2

Divisez $\tan^{2} (θ)$ par $1$ .

$\tan^{2} (θ) = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 5.2.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.2.3.1

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$\tan^{2} (θ) = 3$

Étape 5.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (θ) = \pm \sqrt{3}$

Étape 5.2.3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.2.3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

Étape 5.2.3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

Étape 5.2.3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 5.2.4

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $θ$ .

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

Étape 5.2.5

Résolvez $θ$ dans $\tan (θ) = \sqrt{3}$ .

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Étape 5.2.5.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la tangente.

$θ = \arctan (\sqrt{3})$

Étape 5.2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.5.2.1

La valeur exacte de $\arctan (\sqrt{3})$ est $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Étape 5.2.5.3

$θ = π + \frac{π}{3}$

Étape 5.2.5.4

Simplifiez $π + \frac{π}{3}$ .

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Étape 5.2.5.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$θ = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Étape 5.2.5.4.2

Associez les fractions.

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Étape 5.2.5.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Étape 5.2.5.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$θ = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Étape 5.2.5.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.5.4.3.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$θ = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Étape 5.2.5.4.3.2

Additionnez $3 π$ et $π$ .

$θ = \frac{4 π}{3}$

Étape 5.2.5.5

Déterminez la période de $\tan (θ)$ .

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Étape 5.2.5.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 5.2.5.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 5.2.5.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 5.2.5.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 5.2.5.6

La période de la fonction $\tan (θ)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.2.6

Résolvez $θ$ dans $\tan (θ) = - \sqrt{3}$ .

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Étape 5.2.6.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la tangente.

$θ = \arctan (- \sqrt{3})$

Étape 5.2.6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.6.2.1

La valeur exacte de $\arctan (- \sqrt{3})$ est $- \frac{π}{3}$ .

$θ = - \frac{π}{3}$

Étape 5.2.6.3

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$θ = - \frac{π}{3} - π$

Étape 5.2.6.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 5.2.6.4.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{3} - π$ .

$θ = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Étape 5.2.6.4.2

L’angle résultant de $\frac{2 π}{3}$ est positif et coterminal avec $- \frac{π}{3} - π$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Étape 5.2.6.5

Déterminez la période de $\tan (θ)$ .

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Étape 5.2.6.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 5.2.6.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 5.2.6.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 5.2.6.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 5.2.6.6

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 5.2.6.6.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{π}{3}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{3} + π$

Étape 5.2.6.6.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 5.2.6.6.3

Associez les fractions.

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Étape 5.2.6.6.3.1

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 5.2.6.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 5.2.6.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.6.6.4.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Étape 5.2.6.6.4.2

Soustrayez $π$ de $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Étape 5.2.6.6.5

Indiquez les nouveaux angles.

$θ = \frac{2 π}{3}$

Étape 5.2.6.7

La période de la fonction $\tan (θ)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.2.7

Indiquez toutes les solutions.

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.2.8

Consolidez les solutions.

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Étape 5.2.8.1

Consolidez $\frac{π}{3} + π n$ et $\frac{4 π}{3} + π n$ en $\frac{π}{3} + π n$ .

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.2.8.2

Consolidez $\frac{2 π}{3} + π n$ et $\frac{2 π}{3} + π n$ en $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\tan (θ) (\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1) = 0$ vraie.

$θ = π n, π + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Consolidez les réponses.

$θ = \frac{π n}{3}$ , pour tout entier $n$