Algèbre Exemples

$A (t) = 300 t e^{- 2.5 t}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $300 x e^{- 2.5 x}$ est indéfinie.

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Évaluez $lim_{x \to \infty} 300 x e^{- 2.5 x}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 3.1

Placez le terme $300$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$300 lim_{x \to \infty} x e^{- 2.5 x}$

Étape 3.2

Réécrivez $x e^{- 2.5 x}$ comme $\frac{x}{e^{2.5 x}}$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{2.5 x}}$

Étape 3.3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$300 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{2.5 x}}$

Étape 3.3.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$300 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{2.5 x}}$

Étape 3.3.1.3

Comme l’exposant $2.5 x$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{2.5 x}$ approche de $\infty$ .

$300 \frac{\infty}{\infty}$

Étape 3.3.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$300 \frac{\infty}{\infty}$

Étape 3.3.2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{2.5 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{2.5 x}]}$

Étape 3.3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$300 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{2.5 x}]}$

Étape 3.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{2.5 x}]}$

Étape 3.3.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2.5 x$ .

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Étape 3.3.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2.5 x$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2.5 x]}$

Étape 3.3.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [2.5 x]}$

Étape 3.3.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2.5 x$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2.5 x} \frac{d}{d x} [2.5 x]}$

Étape 3.3.3.4

Comme $2.5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2.5 x$ par rapport à $x$ est $2.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2.5 x} \cdot 2.5 \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2.5 x} \cdot 2.5 \cdot 1}$

Étape 3.3.3.6

Multipliez $2.5$ par $1$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2.5 x} \cdot 2.5}$

Étape 3.3.3.7

Déplacez $2.5$ à gauche de $e^{2.5 x}$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2.5 e^{2.5 x}}$

Étape 3.3.4

Réécrivez $1$ comme $1 (1)$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1 (1)}{2.5 e^{2.5 x}}$

Étape 3.3.5

Factorisez $2.5$ à partir de $2.5 e^{2.5 x}$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1 (1)}{2.5 (e^{2.5 x})}$

Étape 3.3.6

Séparez les fractions.

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2.5} \cdot \frac{1}{e^{2.5 x}}$

Étape 3.3.7

Divisez $1$ par $2.5$ .

$300 lim_{x \to \infty} 0.4 \frac{1}{e^{2.5 x}}$

Étape 3.3.8

Associez $0.4$ et $\frac{1}{e^{2.5 x}}$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{0.4}{e^{2.5 x}}$

Étape 3.4

Placez le terme $0.4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$300 \cdot 0.4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2.5 x}}$

Étape 3.5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{e^{2.5 x}}$ approche de $0$ .

$300 \cdot 0.4 \cdot 0$

Étape 3.6

Multipliez par zéro.

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Étape 3.6.1

Multipliez $0.4$ par $0$ .

$300 \cdot 0$

Étape 3.6.2

Multipliez $300$ par $0$ .

$0$

Étape 4

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = 0$

Étape 5

Il n’y a pas d’asymptote oblique car le degré du numérateur est inférieur ou égal au degré du dénominateur.

Aucune asymptote oblique

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Asymptotes horizontales : $y = 0$

Aucune asymptote oblique

Étape 7