Algèbre Exemples

$\sqrt{2} - \sqrt{x + 6} \leq - \sqrt{x}$

Étape 1

Soustrayez $\sqrt{2}$ des deux côtés de l’inégalité.

$- \sqrt{x + 6} \leq - \sqrt{x} - \sqrt{2}$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${(- \sqrt{x + 6})}^{2} \leq {(- \sqrt{x} - \sqrt{2})}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 6}$ comme ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(- \sqrt{x} - \sqrt{2})}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${(- {(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(- \sqrt{x} - \sqrt{2})}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 {({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(- \sqrt{x} - \sqrt{2})}^{2}$

Étape 3.2.1.3

Multipliez ${({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ par $1$ .

${({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(- \sqrt{x} - \sqrt{2})}^{2}$

Étape 3.2.1.4

Multipliez les exposants dans ${({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- \sqrt{x} - \sqrt{2})}^{2}$

Étape 3.2.1.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(- \sqrt{x} - \sqrt{2})}^{2}$

Étape 3.2.1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x + 6)}^{1} \leq {(- \sqrt{x} - \sqrt{2})}^{2}$

Étape 3.2.1.5

Simplifiez

$x + 6 \leq {(- \sqrt{x} - \sqrt{2})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(- \sqrt{x} - \sqrt{2})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(- \sqrt{x} - \sqrt{2})}^{2}$ comme $(- \sqrt{x} - \sqrt{2}) (- \sqrt{x} - \sqrt{2})$ .

$x + 6 \leq (- \sqrt{x} - \sqrt{2}) (- \sqrt{x} - \sqrt{2})$

Étape 3.3.1.2

Développez $(- \sqrt{x} - \sqrt{2}) (- \sqrt{x} - \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x + 6 \leq - \sqrt{x} (- \sqrt{x} - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x} - \sqrt{2})$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x + 6 \leq - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x} - \sqrt{2})$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x + 6 \leq - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Multipliez $- \sqrt{x} (- \sqrt{x})$ .

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Étape 3.3.1.3.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x + 6 \leq 1 \sqrt{x} \sqrt{x} - \sqrt{x} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Étape 3.3.1.3.1.1.2

Multipliez $\sqrt{x}$ par $1$ .

$x + 6 \leq \sqrt{x} \sqrt{x} - \sqrt{x} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Étape 3.3.1.3.1.1.3

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$x + 6 \leq {\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x} - \sqrt{x} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Étape 3.3.1.3.1.1.4

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$x + 6 \leq {\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1} - \sqrt{x} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Étape 3.3.1.3.1.1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x + 6 \leq {\sqrt{x}}^{1 + 1} - \sqrt{x} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Étape 3.3.1.3.1.1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$x + 6 \leq {\sqrt{x}}^{2} - \sqrt{x} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Étape 3.3.1.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 3.3.1.3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x + 6 \leq {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{x} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Étape 3.3.1.3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + 6 \leq x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{x} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Étape 3.3.1.3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x + 6 \leq x^{\frac{2}{2}} - \sqrt{x} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Étape 3.3.1.3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$x + 6 \leq x^{\frac{2}{2}} - \sqrt{x} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Étape 3.3.1.3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$x + 6 \leq x^{1} - \sqrt{x} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Étape 3.3.1.3.1.2.5

Simplifiez

$x + 6 \leq x - \sqrt{x} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Étape 3.3.1.3.1.3

Multipliez $- \sqrt{x} (- \sqrt{2})$ .

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Étape 3.3.1.3.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x + 6 \leq x + 1 \sqrt{x} \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Étape 3.3.1.3.1.3.2

Multipliez $\sqrt{x}$ par $1$ .

$x + 6 \leq x + \sqrt{x} \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Étape 3.3.1.3.1.3.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} - \sqrt{2} (- \sqrt{x}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Étape 3.3.1.3.1.4

Multipliez $- \sqrt{2} (- \sqrt{x})$ .

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Étape 3.3.1.3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + 1 \sqrt{2} \sqrt{x} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Étape 3.3.1.3.1.4.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{x} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Étape 3.3.1.3.1.4.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + \sqrt{2 x} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Étape 3.3.1.3.1.5

Multipliez $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Étape 3.3.1.3.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + \sqrt{2 x} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}$

Étape 3.3.1.3.1.5.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + \sqrt{2 x} + \sqrt{2} \sqrt{2}$

Étape 3.3.1.3.1.5.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + \sqrt{2 x} + {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}$

Étape 3.3.1.3.1.5.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + \sqrt{2 x} + {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}$

Étape 3.3.1.3.1.5.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + \sqrt{2 x} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Étape 3.3.1.3.1.5.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + \sqrt{2 x} + {\sqrt{2}}^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.3.1.3.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + \sqrt{2 x} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + \sqrt{2 x} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 3.3.1.3.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + \sqrt{2 x} + 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.3.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + \sqrt{2 x} + 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + \sqrt{2 x} + 2^{1}$

Étape 3.3.1.3.1.6.5

Évaluez l’exposant.

$x + 6 \leq x + \sqrt{x \cdot 2} + \sqrt{2 x} + 2$

Étape 3.3.1.3.2

Additionnez $\sqrt{x \cdot 2}$ et $\sqrt{2 x}$ .

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Étape 3.3.1.3.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $2$ .

$x + 6 \leq x + \sqrt{2 \cdot x} + \sqrt{2 x} + 2$

Étape 3.3.1.3.2.2

Additionnez $\sqrt{2 \cdot x}$ et $\sqrt{2 x}$ .

$x + 6 \leq x + 2 \sqrt{2 \cdot x} + 2$

Étape 4

Résolvez $2 \sqrt{2 \cdot x}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez de sorte que $2 \sqrt{2 \cdot x}$ soit du côté gauche de l’inégalité.

$x + 2 \sqrt{2 \cdot x} + 2 \geq x + 6$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $2 \sqrt{2 \cdot x}$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’inégalité.

$2 \sqrt{2 \cdot x} + 2 \geq x + 6 - x$

Étape 4.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$2 \sqrt{2 \cdot x} \geq x + 6 - x - 2$

Étape 4.2.3

Associez les termes opposés dans $x + 6 - x - 2$ .

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Étape 4.2.3.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$2 \sqrt{2 \cdot x} \geq 0 + 6 - 2$

Étape 4.2.3.2

Additionnez $0$ et $6$ .

$2 \sqrt{2 \cdot x} \geq 6 - 2$

Étape 4.2.4

Soustrayez $2$ de $6$ .

$2 \sqrt{2 \cdot x} \geq 4$

Étape 5

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${(2 \sqrt{2 \cdot x})}^{2} \geq 4^{2}$

Étape 6

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 \cdot x}$ comme ${(2 \cdot x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(2 \cdot x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 4^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Simplifiez ${(2 {(2 \cdot x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

${(2 (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}^{2} \geq 4^{2}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $2$ par $2^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1.2.1

Déplacez $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 4^{2}$

Étape 6.2.1.2.2

Multipliez $2^{\frac{1}{2}}$ par $2$ .

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Étape 6.2.1.2.2.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

${(2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 4^{2}$

Étape 6.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(2^{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 4^{2}$

Étape 6.2.1.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

${(2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 4^{2}$

Étape 6.2.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(2^{\frac{1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 4^{2}$

Étape 6.2.1.2.5

Additionnez $1$ et $2$ .

${(2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 4^{2}$

Étape 6.2.1.3

Appliquez la règle de produit à $2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 4^{2}$

Étape 6.2.1.4

Multipliez les exposants dans ${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 4^{2}$

Étape 6.2.1.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 4^{2}$

Étape 6.2.1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$2^{3} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 4^{2}$

Étape 6.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 4^{2}$

Étape 6.2.1.6

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 4^{2}$

Étape 6.2.1.6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$8 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 4^{2}$

Étape 6.2.1.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$8 x^{1} \geq 4^{2}$

Étape 6.2.1.7

Simplifiez

$8 x \geq 4^{2}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$8 x \geq 16$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $8 x \geq 16$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $8 x \geq 16$ par $8$ .

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{16}{8}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{16}{8}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{16}{8}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Divisez $16$ par $8$ .

$x \geq 2$

Étape 8

Déterminez le domaine de $\sqrt{2} - \sqrt{x + 6} + \sqrt{x}$ .

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Étape 8.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x + 6}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x + 6 \geq 0$

Étape 8.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’inégalité.

$x \geq - 6$

Étape 8.3

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x \geq 0$

Étape 8.4

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[0, \infty)$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{2} - \sqrt{(- 2) + 6} \leq - \sqrt{- 2}$

Étape 10.1.3

Le côté gauche n’est pas égal au côté droit, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{2} - \sqrt{(1) + 6} \leq - \sqrt{1}$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $- 1.23153774$ est inférieur au côté droit $- 1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{2} - \sqrt{(4) + 6} \leq - \sqrt{4}$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $- 1.74806409$ est supérieur au côté droit $- 2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < 2$ Vrai

$x > 2$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < 2$ Vrai

$x > 2$ Faux

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 \leq x \leq 2$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$0 \leq x \leq 2$

Notation d’intervalle :

$[0, 2]$

Étape 13