Algèbre Exemples

$g (n) = - (3 n - 1) (2 n + 1)$

Étape 1

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1.1

Complétez le carré pour $- (3 x - 1) (2 x + 1)$ .

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Étape 1.1.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$(- (3 x) - - 1) (2 x + 1)$

Étape 1.1.1.1.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$(- 3 x - - 1) (2 x + 1)$

Étape 1.1.1.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(- 3 x + 1) (2 x + 1)$

Étape 1.1.1.1.4

Développez $(- 3 x + 1) (2 x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.1.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)$

Étape 1.1.1.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 x (2 x) - 3 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1)$

Étape 1.1.1.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 x (2 x) - 3 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

Étape 1.1.1.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.1.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.1.5.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 3 \cdot 2 x \cdot x - 3 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

Étape 1.1.1.1.5.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.1.1.5.1.2.1

Déplacez $x$ .

$- 3 \cdot 2 (x \cdot x) - 3 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

Étape 1.1.1.1.5.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- 3 \cdot 2 x^{2} - 3 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

Étape 1.1.1.1.5.1.3

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$- 6 x^{2} - 3 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

Étape 1.1.1.1.5.1.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 6 x^{2} - 3 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

Étape 1.1.1.1.5.1.5

Multipliez $2 x$ par $1$ .

$- 6 x^{2} - 3 x + 2 x + 1 \cdot 1$

Étape 1.1.1.1.5.1.6

Multipliez $1$ par $1$ .

$- 6 x^{2} - 3 x + 2 x + 1$

Étape 1.1.1.1.5.2

Additionnez $- 3 x$ et $2 x$ .

$- 6 x^{2} - x + 1$

Étape 1.1.1.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 6$

$b = - 1$

$c = 1$

Étape 1.1.1.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.1.1.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 \cdot - 6}$

Étape 1.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.1.4.2.1

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$d = \frac{- 1}{- 12}$

Étape 1.1.1.4.2.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$d = \frac{1}{12}$

Étape 1.1.1.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.1.1.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot - 6}$

Étape 1.1.1.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.1.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.5.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = 1 - \frac{1}{4 \cdot - 6}$

Étape 1.1.1.5.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 6$ .

$e = 1 - \frac{1}{- 24}$

Étape 1.1.1.5.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = 1 - - \frac{1}{24}$

Étape 1.1.1.5.2.1.4

Multipliez $- - \frac{1}{24}$ .

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Étape 1.1.1.5.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e = 1 + 1 (\frac{1}{24})$

Étape 1.1.1.5.2.1.4.2

Multipliez $\frac{1}{24}$ par $1$ .

$e = 1 + \frac{1}{24}$

Étape 1.1.1.5.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$e = \frac{24}{24} + \frac{1}{24}$

Étape 1.1.1.5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{24 + 1}{24}$

Étape 1.1.1.5.2.4

Additionnez $24$ et $1$ .

$e = \frac{25}{24}$

Étape 1.1.1.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 6 {(x + \frac{1}{12})}^{2} + \frac{25}{24}$ .

$- 6 {(x + \frac{1}{12})}^{2} + \frac{25}{24}$

Étape 1.1.2

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = - 6 {(x + \frac{1}{12})}^{2} + \frac{25}{24}$

Étape 1.2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - 6$

$h = - \frac{1}{12}$

$k = \frac{25}{24}$

Étape 1.3

Comme la valeur de $a$ est négative, la parabole ouvre vers le bas.

ouvre vers le bas

Étape 1.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- \frac{1}{12}, \frac{25}{24})$

Étape 1.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 1.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 1.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot - 6}$

Étape 1.5.3

Simplifiez

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Étape 1.5.3.1

Multipliez $4$ par $- 6$ .

$\frac{1}{- 24}$

Étape 1.5.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{24}$

Étape 1.6

Déterminez le foyer.

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Étape 1.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 1.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- \frac{1}{12}, 1)$

Étape 1.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = - \frac{1}{12}$

Étape 1.8

Déterminez la directrice.

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Étape 1.8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 1.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = \frac{13}{12}$

Étape 1.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(- \frac{1}{12}, \frac{25}{24})$

Foyer : $(- \frac{1}{12}, 1)$

Axe de symétrie : $x = - \frac{1}{12}$

Directrice : $y = \frac{13}{12}$

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(- \frac{1}{12}, \frac{25}{24})$

Foyer : $(- \frac{1}{12}, 1)$

Axe de symétrie : $x = - \frac{1}{12}$

Directrice : $y = \frac{13}{12}$

Étape 2

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = - (3 (- 1) - 1) (2 (- 1) + 1)$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (- 1) = - (- 3 - 1) (2 (- 1) + 1)$

Étape 2.2.2

Soustrayez $1$ de $- 3$ .

$f (- 1) = 4 (2 (- 1) + 1)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (- 1) = 4 (- 2 + 1)$

Étape 2.2.4

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$f (- 1) = 4 \cdot - 1$

Étape 2.2.5

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f (- 1) = - 4$

Étape 2.2.6

La réponse finale est $- 4$ .

$- 4$

Étape 2.3

La valeur $y$ sur $x = - 1$ est $- 4$ .

$y = - 4$

Étape 2.4

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = - (3 (- 2) - 1) (2 (- 2) + 1)$

Étape 2.5

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.5.1

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$f (- 2) = - (- 6 - 1) (2 (- 2) + 1)$

Étape 2.5.2

Soustrayez $1$ de $- 6$ .

$f (- 2) = 7 (2 (- 2) + 1)$

Étape 2.5.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f (- 2) = 7 (- 4 + 1)$

Étape 2.5.4

Additionnez $- 4$ et $1$ .

$f (- 2) = 7 \cdot - 3$

Étape 2.5.5

Multipliez $7$ par $- 3$ .

$f (- 2) = - 21$

Étape 2.5.6

La réponse finale est $- 21$ .

$- 21$

Étape 2.6

La valeur $y$ sur $x = - 2$ est $- 21$ .

$y = - 21$

Étape 2.7

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = - (3 (1) - 1) (2 (1) + 1)$

Étape 2.8

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.8.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (1) = - (3 - 1) (2 (1) + 1)$

Étape 2.8.2

Soustrayez $1$ de $3$ .

$f (1) = - 1 \cdot (2 (2 (1) + 1))$

Étape 2.8.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (1) = - 2 (2 (1) + 1)$

Étape 2.8.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (1) = - 2 (2 + 1)$

Étape 2.8.5

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (1) = - 2 \cdot 3$

Étape 2.8.6

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$f (1) = - 6$

Étape 2.8.7

La réponse finale est $- 6$ .

$- 6$

Étape 2.9

La valeur $y$ sur $x = 1$ est $- 6$ .

$y = - 6$

Étape 2.10

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = - (3 (2) - 1) (2 (2) + 1)$

Étape 2.11

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.11.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (2) = - (6 - 1) (2 (2) + 1)$

Étape 2.11.2

Soustrayez $1$ de $6$ .

$f (2) = - 1 \cdot (5 (2 (2) + 1))$

Étape 2.11.3

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f (2) = - 5 (2 (2) + 1)$

Étape 2.11.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (2) = - 5 (4 + 1)$

Étape 2.11.5

Additionnez $4$ et $1$ .

$f (2) = - 5 \cdot 5$

Étape 2.11.6

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$f (2) = - 25$

Étape 2.11.7

La réponse finale est $- 25$ .

$- 25$

Étape 2.12

La valeur $y$ sur $x = 2$ est $- 25$ .

$y = - 25$

Étape 2.13

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 21 \\ - 1 & - 4 \\ - \frac{1}{12} & \frac{25}{24} \\ 1 & - 6 \\ 2 & - 25 \end{array}$

Étape 3

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(- \frac{1}{12}, \frac{25}{24})$

Foyer : $(- \frac{1}{12}, 1)$

Axe de symétrie : $x = - \frac{1}{12}$

Directrice : $y = \frac{13}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 21 \\ - 1 & - 4 \\ - \frac{1}{12} & \frac{25}{24} \\ 1 & - 6 \\ 2 & - 25 \end{array}$

Étape 4