Algèbre Exemples

$f^{- 1} (\frac{3 + x}{x - 2}) = x + 1$

Étape 1

Simplifiez $f^{- 1} (\frac{3 + x}{x - 2})$ .

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Étape 1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{f} \cdot \frac{3 + x}{x - 2} = x + 1$

Étape 1.2

Multipliez $\frac{1}{f}$ par $\frac{3 + x}{x - 2}$ .

$\frac{3 + x}{f (x - 2)} = x + 1$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$f (x - 2), 1, 1$

Étape 2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$f (x - 2)$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{3 + x}{f (x - 2)} = x + 1$ par $f (x - 2)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{3 + x}{f (x - 2)} = x + 1$ par $f (x - 2)$ .

$\frac{3 + x}{f (x - 2)} (f (x - 2)) = x (f (x - 2)) + 1 (f (x - 2))$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $f (x - 2)$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 + x}{f (x - 2)} (f (x - 2)) = x (f (x - 2)) + 1 (f (x - 2))$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$3 + x = x (f (x - 2)) + 1 (f (x - 2))$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 + x = x (f x + f \cdot - 2) + 1 (f (x - 2))$

Étape 3.3.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $f$ .

$3 + x = x (f x - 2 \cdot f) + 1 (f (x - 2))$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 + x = x (f x) + x (- 2 f) + 1 (f (x - 2))$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.4.1

Déplacez $x$ .

$3 + x = x \cdot x f + x (- 2 f) + 1 (f (x - 2))$

Étape 3.3.1.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 + x = x^{2} f + x (- 2 f) + 1 (f (x - 2))$

Étape 3.3.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 + x = x^{2} f - 2 x f + 1 (f (x - 2))$

Étape 3.3.1.6

Multipliez $f (x - 2)$ par $1$ .

$3 + x = x^{2} f - 2 x f + f (x - 2)$

Étape 3.3.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$3 + x = x^{2} f - 2 x f + f x + f \cdot - 2$

Étape 3.3.1.8

Déplacez $- 2$ à gauche de $f$ .

$3 + x = x^{2} f - 2 x f + f x - 2 f$

Étape 3.3.2

Additionnez $- 2 x f$ et $f x$ .

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Étape 3.3.2.1

Déplacez $x$ .

$3 + x = x^{2} f - 2 f x + f x - 2 f$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $- 2 f x$ et $f x$ .

$3 + x = x^{2} f - f x - 2 f$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} f - f x - 2 f = 3 + x$ .

$x^{2} f - f x - 2 f = 3 + x$

Étape 4.2

Factorisez $f$ à partir de $x^{2} f - f x - 2 f$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $f$ à partir de $x^{2} f$ .

$f x^{2} - f x - 2 f = 3 + x$

Étape 4.2.2

Factorisez $f$ à partir de $- f x$ .

$f x^{2} + f (- 1 x) - 2 f = 3 + x$

Étape 4.2.3

Factorisez $f$ à partir de $- 2 f$ .

$f x^{2} + f (- 1 x) + f \cdot - 2 = 3 + x$

Étape 4.2.4

Factorisez $f$ à partir de $f x^{2} + f (- 1 x)$ .

$f (x^{2} - 1 x) + f \cdot - 2 = 3 + x$

Étape 4.2.5

Factorisez $f$ à partir de $f (x^{2} - 1 x) + f \cdot - 2$ .

$f (x^{2} - 1 x - 2) = 3 + x$

Étape 4.3

Factorisez.

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Étape 4.3.1

Factorisez $x^{2} - 1 x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.3.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 2, 1$

Étape 4.3.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$f ((x - 2) (x + 1)) = 3 + x$

Étape 4.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$f (x - 2) (x + 1) = 3 + x$

Étape 4.4

Divisez chaque terme dans $f (x - 2) (x + 1) = 3 + x$ par $(x - 2) (x + 1)$ et simplifiez.

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Étape 4.4.1

Divisez chaque terme dans $f (x - 2) (x + 1) = 3 + x$ par $(x - 2) (x + 1)$ .

$\frac{f (x - 2) (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)} = \frac{3}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{x}{(x - 2) (x + 1)}$

Étape 4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{f (x - 2) (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)} = \frac{3}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{x}{(x - 2) (x + 1)}$

Étape 4.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{f (x + 1)}{x + 1} = \frac{3}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{x}{(x - 2) (x + 1)}$

Étape 4.4.2.2

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 4.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{f (x + 1)}{x + 1} = \frac{3}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{x}{(x - 2) (x + 1)}$

Étape 4.4.2.2.2

Divisez $f$ par $1$ .

$f = \frac{3}{(x - 2) (x + 1)} + \frac{x}{(x - 2) (x + 1)}$