Algèbre Exemples

$\sqrt{648} = \sqrt{2^{a} \cdot 3^{b}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{2^{a} \cdot 3^{b}} = \sqrt{648}$ .

$\sqrt{2^{a} \cdot 3^{b}} = \sqrt{648}$

Étape 2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (\sqrt{2^{a} \cdot 3^{b}}) = \ln (\sqrt{648})$

Étape 3

Développez le côté gauche.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2^{a} \cdot 3^{b}}$ comme ${(2^{a} \cdot 3^{b})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln ({(2^{a} \cdot 3^{b})}^{\frac{1}{2}}) = \ln (\sqrt{648})$

Étape 3.2

Développez $\ln ({(2^{a} \cdot 3^{b})}^{\frac{1}{2}})$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ hors du logarithme.

$\frac{1}{2} \ln (2^{a} \cdot 3^{b}) = \ln (\sqrt{648})$

Étape 3.3

Réécrivez $\ln (2^{a} \cdot 3^{b})$ comme $\ln (2^{a}) + \ln (3^{b})$ .

$\frac{1}{2} (\ln (2^{a}) + \ln (3^{b})) = \ln (\sqrt{648})$

Étape 3.4

Développez $\ln (2^{a})$ en déplaçant $a$ hors du logarithme.

$\frac{1}{2} (a \ln (2) + \ln (3^{b})) = \ln (\sqrt{648})$

Étape 3.5

Développez $\ln (3^{b})$ en déplaçant $b$ hors du logarithme.

$\frac{1}{2} (a \ln (2) + b \ln (3)) = \ln (\sqrt{648})$

Étape 4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1

Simplifiez $\frac{1}{2} (a \ln (2) + b \ln (3))$ .

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} (a \ln (2)) + \frac{1}{2} (b \ln (3)) = \ln (\sqrt{648})$

Étape 4.1.2

Multipliez $\frac{1}{2} (a \ln (2))$ .

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Étape 4.1.2.1

Associez $a$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{a}{2} \ln (2) + \frac{1}{2} (b \ln (3)) = \ln (\sqrt{648})$

Étape 4.1.2.2

Associez $\frac{a}{2}$ et $\ln (2)$ .

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{1}{2} (b \ln (3)) = \ln (\sqrt{648})$

Étape 4.1.3

Multipliez $\frac{1}{2} (b \ln (3))$ .

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Étape 4.1.3.1

Associez $b$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b}{2} \ln (3) = \ln (\sqrt{648})$

Étape 4.1.3.2

Associez $\frac{b}{2}$ et $\ln (3)$ .

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b \ln (3)}{2} = \ln (\sqrt{648})$

Étape 5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1

Simplifiez $\ln (\sqrt{648})$ .

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Étape 5.1.1

Réécrivez $648$ comme $18^{2} \cdot 2$ .

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Étape 5.1.1.1

Factorisez $324$ à partir de $648$ .

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b \ln (3)}{2} = \ln (\sqrt{324 (2)})$

Étape 5.1.1.2

Réécrivez $324$ comme $18^{2}$ .

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b \ln (3)}{2} = \ln (\sqrt{18^{2} \cdot 2})$

Étape 5.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b \ln (3)}{2} = \ln (18 \sqrt{2})$

Étape 6

Multiplier chaque terme dans $\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b \ln (3)}{2} = \ln (18 \sqrt{2})$ par $2$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 6.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b \ln (3)}{2} = \ln (18 \sqrt{2})$ par $2$ .

$\frac{a \ln (2)}{2} \cdot 2 + \frac{b \ln (3)}{2} \cdot 2 = \ln (18 \sqrt{2}) \cdot 2$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a \ln (2)}{2} \cdot 2 + \frac{b \ln (3)}{2} \cdot 2 = \ln (18 \sqrt{2}) \cdot 2$

Étape 6.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$a \ln (2) + \frac{b \ln (3)}{2} \cdot 2 = \ln (18 \sqrt{2}) \cdot 2$

Étape 6.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$a \ln (2) + \frac{b \ln (3)}{2} \cdot 2 = \ln (18 \sqrt{2}) \cdot 2$

Étape 6.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$a \ln (2) + b \ln (3) = \ln (18 \sqrt{2}) \cdot 2$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $\ln (18 \sqrt{2})$ .

$a \ln (2) + b \ln (3) = 2 \ln (18 \sqrt{2})$

Étape 7

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$a \ln (2) + b \ln (3) - 2 \ln (18 \sqrt{2}) = 0$

Étape 8

Déplacez tous les termes ne contenant pas $a$ du côté droit de l’équation.

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Étape 8.1

Soustrayez $b \ln (3)$ des deux côtés de l’équation.

$a \ln (2) - 2 \ln (18 \sqrt{2}) = - b \ln (3)$

Étape 8.2

Ajoutez $2 \ln (18 \sqrt{2})$ aux deux côtés de l’équation.

$a \ln (2) = - b \ln (3) + 2 \ln (18 \sqrt{2})$

Étape 9

Divisez chaque terme dans $a \ln (2) = - b \ln (3) + 2 \ln (18 \sqrt{2})$ par $\ln (2)$ et simplifiez.

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Étape 9.1

Divisez chaque terme dans $a \ln (2) = - b \ln (3) + 2 \ln (18 \sqrt{2})$ par $\ln (2)$ .

$\frac{a \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- b \ln (3)}{\ln (2)} + \frac{2 \ln (18 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

Étape 9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (2)$ .

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Étape 9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- b \ln (3)}{\ln (2)} + \frac{2 \ln (18 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

Étape 9.2.1.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{- b \ln (3)}{\ln (2)} + \frac{2 \ln (18 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

Étape 9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$a = - \frac{b \ln (3)}{\ln (2)} + \frac{2 \ln (18 \sqrt{2})}{\ln (2)}$