Algèbre Exemples

$\frac{1}{y - 2} + \frac{2}{y + 1} - \frac{y + 2}{y^{2} - y - 2}$

Étape 1

Factorisez $y^{2} - y - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 2, 1$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{1}{y - 2} + \frac{2}{y + 1} - \frac{y + 2}{(y - 2) (y + 1)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{1}{y - 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y - 2} \cdot \frac{y + 1}{y + 1} + \frac{2}{y + 1} - \frac{y + 2}{(y - 2) (y + 1)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{2}{y + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y - 2}{y - 2}$ .

$\frac{1}{y - 2} \cdot \frac{y + 1}{y + 1} + \frac{2}{y + 1} \cdot \frac{y - 2}{y - 2} - \frac{y + 2}{(y - 2) (y + 1)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(y - 2) (y + 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{1}{y - 2}$ par $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{y + 1}{(y - 2) (y + 1)} + \frac{2}{y + 1} \cdot \frac{y - 2}{y - 2} - \frac{y + 2}{(y - 2) (y + 1)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{2}{y + 1}$ par $\frac{y - 2}{y - 2}$ .

$\frac{y + 1}{(y - 2) (y + 1)} + \frac{2 (y - 2)}{(y + 1) (y - 2)} - \frac{y + 2}{(y - 2) (y + 1)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(y - 2) (y + 1)$ .

$\frac{y + 1}{(y + 1) (y - 2)} + \frac{2 (y - 2)}{(y + 1) (y - 2)} - \frac{y + 2}{(y - 2) (y + 1)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y + 1 + 2 (y - 2)}{(y + 1) (y - 2)} - \frac{y + 2}{(y - 2) (y + 1)}$

Étape 5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y + 1 + 2 (y - 2) - (y + 2)}{(y + 1) (y - 2)}$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y + 1 + 2 y + 2 \cdot - 2 - (y + 2)}{(y + 1) (y - 2)}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{y + 1 + 2 y - 4 - (y + 2)}{(y + 1) (y - 2)}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y + 1 + 2 y - 4 - y - 1 \cdot 2}{(y + 1) (y - 2)}$

Étape 6.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{y + 1 + 2 y - 4 - y - 2}{(y + 1) (y - 2)}$

Étape 7

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 7.1

Associez les termes opposés dans $y + 1 + 2 y - 4 - y - 2$ .

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Étape 7.1.1

Soustrayez $y$ de $y$ .

$\frac{1 + 2 y - 4 + 0 - 2}{(y + 1) (y - 2)}$

Étape 7.1.2

Additionnez $1 + 2 y - 4$ et $0$ .

$\frac{1 + 2 y - 4 - 2}{(y + 1) (y - 2)}$

Étape 7.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 7.2.1

Soustrayez $4$ de $1$ .

$\frac{2 y - 3 - 2}{(y + 1) (y - 2)}$

Étape 7.2.2

Soustrayez $2$ de $- 3$ .

$\frac{2 y - 5}{(y + 1) (y - 2)}$