Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} + 10 x + 16}{x - 3} > 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x^{2} + 10 x + 16 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 2

Factorisez $x^{2} + 10 x + 16$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $16$ et dont la somme est $10$ .

$2, 8$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x + 2) (x + 8) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 8 = 0$

Étape 4

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 4.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 5

Définissez $x + 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x + 8$ égal à $0$ .

$x + 8 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 8$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 2) (x + 8) = 0$ vraie.

$x = - 2, - 8$

Étape 7

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 8

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = - 2, - 8$

$x = 3$

Étape 9

Consolidez les solutions.

$x = - 2, - 8, 3$

Étape 10

Déterminez le domaine de $\frac{x^{2} + 10 x + 16}{x - 3}$ .

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Étape 10.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} + 10 x + 16}{x - 3}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 3 = 0$

Étape 10.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 10.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 11

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 2$

$- 2 < x < 3$

$x > 3$

Étape 12

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 12.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 8$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 8$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 10$

Étape 12.1.2

Remplacez $x$ par $- 10$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 10)}^{2} + 10 (- 10) + 16}{(- 10) - 3} > 0$

Étape 12.1.3

Le côté gauche $- 1.\overline{230769}$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 12.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 8 < x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 8 < x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 5$

Étape 12.2.2

Remplacez $x$ par $- 5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 5)}^{2} + 10 (- 5) + 16}{(- 5) - 3} > 0$

Étape 12.2.3

Le côté gauche $1.125$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 12.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 12.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(0)}^{2} + 10 (0) + 16}{(0) - 3} > 0$

Étape 12.3.3

Le côté gauche $- 5.\overline{3}$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 12.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 12.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(6)}^{2} + 10 (6) + 16}{(6) - 3} > 0$

Étape 12.4.3

Le côté gauche $37.\overline{3}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 12.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 8$ Faux

$- 8 < x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 3$ Faux

$x > 3$ Vrai

$x < - 8$ Faux

$- 8 < x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 3$ Faux

$x > 3$ Vrai

Étape 13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 8 < x < - 2$ ou $x > 3$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 8 < x < - 2 or x > 3$

Notation d’intervalle :

$(- 8, - 2) \cup (3, \infty)$

Étape 15