Algèbre Exemples

$2^{a + 1} + 2^{a} = 3^{b + 2} - 3^{b}$

Étape 1

Factorisez $2^{a}$ à partir de l’expression.

$2^{a} (2 + 1)$

Étape 2

Additionnez $2$ et $1$ .

$2^{a} \cdot 3 = 3^{b + 2} - 3^{b}$

Étape 3

Déplacez $3$ à gauche de $2^{a}$ .

$3 \cdot 2^{a} = 3^{b + 2} - 3^{b}$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $3 \cdot 2^{a} = 3^{b + 2} - 3^{b}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $3 \cdot 2^{a} = 3^{b + 2} - 3^{b}$ par $3$ .

$\frac{3 \cdot 2^{a}}{3} = \frac{3^{b + 2}}{3} + \frac{- 3^{b}}{3}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 2^{a}}{3} = \frac{3^{b + 2}}{3} + \frac{- 3^{b}}{3}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $2^{a}$ par $1$ .

$2^{a} = \frac{3^{b + 2}}{3} + \frac{- 3^{b}}{3}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2^{a} = \frac{3^{b + 2} - 3^{b}}{3}$

Étape 5

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (2^{a}) = \ln (\frac{3^{b + 2} - 3^{b}}{3})$

Étape 6

Développez $\ln (2^{a})$ en déplaçant $a$ hors du logarithme.

$a \ln (2) = \ln (\frac{3^{b + 2} - 3^{b}}{3})$

Étape 7

Réécrivez $\ln (\frac{3^{b + 2} - 3^{b}}{3})$ comme $\ln (3^{b + 2} - 3^{b}) - \ln (3)$ .

$a \ln (2) = \ln (3^{b + 2} - 3^{b}) - \ln (3)$

Étape 8

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.1

Simplifiez $\ln (3^{b + 2} - 3^{b}) - \ln (3)$ .

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Étape 8.1.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$a \ln (2) = \ln (\frac{3^{b + 2} - 3^{b}}{3})$

Étape 8.1.2

Divisez la fraction $\frac{3^{b + 2} - 3^{b}}{3}$ en deux fractions.

$a \ln (2) = \ln (\frac{3^{b + 2}}{3} + \frac{- 3^{b}}{3})$

Étape 8.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.3.1

Annulez le facteur commun à $3^{b + 2}$ et $3$ .

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Étape 8.1.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3^{b + 2}$ .

$a \ln (2) = \ln (\frac{3 \cdot 3^{b + 1}}{3} + \frac{- 3^{b}}{3})$

Étape 8.1.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.1.3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$a \ln (2) = \ln (\frac{3 \cdot 3^{b + 1}}{3 (1)} + \frac{- 3^{b}}{3})$

Étape 8.1.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$a \ln (2) = \ln (\frac{3 \cdot 3^{b + 1}}{3 \cdot 1} + \frac{- 3^{b}}{3})$

Étape 8.1.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$a \ln (2) = \ln (\frac{3^{b + 1}}{1} + \frac{- 3^{b}}{3})$

Étape 8.1.3.1.2.4

Divisez $3^{b + 1}$ par $1$ .

$a \ln (2) = \ln (3^{b + 1} + \frac{- 3^{b}}{3})$

Étape 8.1.3.2

Annulez le facteur commun à $3^{b}$ et $3$ .

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Étape 8.1.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3^{b}$ .

$a \ln (2) = \ln (3^{b + 1} + \frac{3 (- 3^{b - 1})}{3})$

Étape 8.1.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.1.3.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$a \ln (2) = \ln (3^{b + 1} + \frac{3 (- 3^{b - 1})}{3 (1)})$

Étape 8.1.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$a \ln (2) = \ln (3^{b + 1} + \frac{3 (- 3^{b - 1})}{3 \cdot 1})$

Étape 8.1.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$a \ln (2) = \ln (3^{b + 1} + \frac{- 3^{b - 1}}{1})$

Étape 8.1.3.2.2.4

Divisez $- 3^{b - 1}$ par $1$ .

$a \ln (2) = \ln (3^{b + 1} - 3^{b - 1})$

Étape 9

Divisez chaque terme dans $a \ln (2) = \ln (3^{b + 1} - 3^{b - 1})$ par $\ln (2)$ et simplifiez.

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Étape 9.1

Divisez chaque terme dans $a \ln (2) = \ln (3^{b + 1} - 3^{b - 1})$ par $\ln (2)$ .

$\frac{a \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (3^{b + 1} - 3^{b - 1})}{\ln (2)}$

Étape 9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (2)$ .

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Étape 9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (3^{b + 1} - 3^{b - 1})}{\ln (2)}$

Étape 9.2.1.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{\ln (3^{b + 1} - 3^{b - 1})}{\ln (2)}$