Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} + 7 x + 12}{x^{2} - 4} \times \frac{x + 2}{x^{2} - 16}$

Étape 1

Factorisez $x^{2} + 7 x + 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $12$ et dont la somme est $7$ .

$3, 4$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 3) (x + 4)}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x + 2}{x^{2} - 16}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (x + 4)}{x^{2} - 2^{2}} \cdot \frac{x + 2}{x^{2} - 16}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{(x + 3) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x + 2}{x^{2} - 16}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{(x + 3) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x + 2}{x^{2} - 4^{2}}$

Étape 3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$\frac{(x + 3) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x + 2}{(x + 4) (x - 4)}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $x + 4$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $x + 4$ à partir de $(x + 3) (x + 4)$ .

$\frac{(x + 4) (x + 3)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x + 2}{(x + 4) (x - 4)}$

Étape 4.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 4) (x + 3)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x + 2}{(x + 4) (x - 4)}$

Étape 4.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 3}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x + 2}{x - 4}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 3}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x + 2}{x - 4}$

Étape 4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 3}{x - 2} \cdot \frac{1}{x - 4}$

Étape 4.3

Multipliez $\frac{x + 3}{x - 2}$ par $\frac{1}{x - 4}$ .

$\frac{x + 3}{(x - 2) (x - 4)}$