Algèbre Exemples

$\frac{x + 4}{2 x + 10} - \frac{5}{x^{2} - 25}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 10$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{x + 4}{2 (x) + 10} - \frac{5}{x^{2} - 25}$

Étape 1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{x + 4}{2 x + 2 \cdot 5} - \frac{5}{x^{2} - 25}$

Étape 1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot 5$ .

$\frac{x + 4}{2 (x + 5)} - \frac{5}{x^{2} - 25}$

Étape 1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{x + 4}{2 (x + 5)} - \frac{5}{x^{2} - 5^{2}}$

Étape 1.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$\frac{x + 4}{2 (x + 5)} - \frac{5}{(x + 5) (x - 5)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{x + 4}{2 (x + 5)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{x + 4}{2 (x + 5)} \cdot \frac{x - 5}{x - 5} - \frac{5}{(x + 5) (x - 5)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{5}{(x + 5) (x - 5)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x + 4}{2 (x + 5)} \cdot \frac{x - 5}{x - 5} - \frac{5}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2 (x + 5) (x - 5)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{x + 4}{2 (x + 5)}$ par $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{(x + 4) (x - 5)}{2 (x + 5) (x - 5)} - \frac{5}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{5}{(x + 5) (x - 5)}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x + 4) (x - 5)}{2 (x + 5) (x - 5)} - \frac{5 \cdot 2}{(x + 5) (x - 5) \cdot 2}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x + 5) (x - 5) \cdot 2$ .

$\frac{(x + 4) (x - 5)}{2 (x + 5) (x - 5)} - \frac{5 \cdot 2}{2 (x + 5) (x - 5)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x + 4) (x - 5) - 5 \cdot 2}{2 (x + 5) (x - 5)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Développez $(x + 4) (x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x - 5) + 4 (x - 5) - 5 \cdot 2}{2 (x + 5) (x - 5)}$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 5 + 4 (x - 5) - 5 \cdot 2}{2 (x + 5) (x - 5)}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 5 + 4 x + 4 \cdot - 5 - 5 \cdot 2}{2 (x + 5) (x - 5)}$

Étape 6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 5 + 4 x + 4 \cdot - 5 - 5 \cdot 2}{2 (x + 5) (x - 5)}$

Étape 6.2.1.2

Déplacez $- 5$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 \cdot x + 4 x + 4 \cdot - 5 - 5 \cdot 2}{2 (x + 5) (x - 5)}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $4$ par $- 5$ .

$\frac{x^{2} - 5 x + 4 x - 20 - 5 \cdot 2}{2 (x + 5) (x - 5)}$

Étape 6.2.2

Additionnez $- 5 x$ et $4 x$ .

$\frac{x^{2} - x - 20 - 5 \cdot 2}{2 (x + 5) (x - 5)}$

Étape 6.3

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$\frac{x^{2} - x - 20 - 10}{2 (x + 5) (x - 5)}$

Étape 6.4

Soustrayez $10$ de $- 20$ .

$\frac{x^{2} - x - 30}{2 (x + 5) (x - 5)}$

Étape 6.5

Factorisez $x^{2} - x - 30$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 30$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 6, 5$

Étape 6.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 6) (x + 5)}{2 (x + 5) (x - 5)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $x + 5$ .

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 6) (x + 5)}{2 (x + 5) (x - 5)}$

Étape 7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 6}{2 (x - 5)}$