Algèbre Exemples

$2 x^{2} + 5 x \leq 2 x + 5$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 1.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’inégalité.

$2 x^{2} + 5 x - 2 x \leq 5$

Étape 1.2

Soustrayez $2 x$ de $5 x$ .

$2 x^{2} + 3 x \leq 5$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$2 x^{2} + 3 x = 5$

Étape 3

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} + 3 x - 5 = 0$

Étape 4

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ et dont la somme est $b = 3$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$2 x^{2} + 3 (x) - 5 = 0$

Étape 4.1.2

Réécrivez $3$ comme $- 2$ plus $5$

$2 x^{2} + (- 2 + 5) x - 5 = 0$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} - 2 x + 5 x - 5 = 0$

Étape 4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 x^{2} - 2 x) + 5 x - 5 = 0$

Étape 4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 x (x - 1) + 5 (x - 1) = 0$

Étape 4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 1$ .

$(x - 1) (2 x + 5) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$2 x + 5 = 0$

Étape 6

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 7

Définissez $2 x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $2 x + 5$ égal à $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $2 x + 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 5$

Étape 7.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 5$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 5$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Étape 7.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Étape 7.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5}{2}$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 1) (2 x + 5) = 0$ vraie.

$x = 1, - \frac{5}{2}$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{5}{2}$

$- \frac{5}{2} < x < 1$

$x > 1$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{5}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{5}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 5$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $- 5$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(- 5)}^{2} + 5 (- 5) \leq 2 (- 5) + 5$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $25$ est supérieur au côté droit $- 5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{5}{2} < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{5}{2} < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(0)}^{2} + 5 (0) \leq 2 (0) + 5$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $0$ est inférieur au côté droit $5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$2 {(4)}^{2} + 5 (4) \leq 2 (4) + 5$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $52$ est supérieur au côté droit $13$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{5}{2}$ Faux

$- \frac{5}{2} < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

$x < - \frac{5}{2}$ Faux

$- \frac{5}{2} < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- \frac{5}{2} \leq x \leq 1$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- \frac{5}{2} \leq x \leq 1$

Notation d’intervalle :

$[- \frac{5}{2}, 1]$

Étape 13