Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} - 81}{x^{2} - 14 x + 45} \cdot \frac{x^{2} - 12 x + 35}{- x - 9} \div \frac{7 - x}{- 4}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{x^{2} - 81}{x^{2} - 14 x + 45} \cdot \frac{x^{2} - 12 x + 35}{- x - 9} \frac{- 4}{7 - x}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 9^{2}}{x^{2} - 14 x + 45} \cdot \frac{x^{2} - 12 x + 35}{- x - 9} \frac{- 4}{7 - x}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 9$ .

$\frac{(x + 9) (x - 9)}{x^{2} - 14 x + 45} \cdot \frac{x^{2} - 12 x + 35}{- x - 9} \frac{- 4}{7 - x}$

Étape 3

Factorisez $x^{2} - 14 x + 45$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $45$ et dont la somme est $- 14$ .

$- 9, - 5$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 9) (x - 9)}{(x - 9) (x - 5)} \cdot \frac{x^{2} - 12 x + 35}{- x - 9} \frac{- 4}{7 - x}$

Étape 4

Factorisez $x^{2} - 12 x + 35$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $35$ et dont la somme est $- 12$ .

$- 7, - 5$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 9) (x - 9)}{(x - 9) (x - 5)} \cdot \frac{(x - 7) (x - 5)}{- x - 9} \frac{- 4}{7 - x}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $x - 5$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $x - 5$ à partir de $(x - 9) (x - 5)$ .

$\frac{(x + 9) (x - 9)}{(x - 5) (x - 9)} \cdot \frac{(x - 7) (x - 5)}{- x - 9} \frac{- 4}{7 - x}$

Étape 5.1.2

Factorisez $x - 5$ à partir de $(x - 7) (x - 5)$ .

$\frac{(x + 9) (x - 9)}{(x - 5) (x - 9)} \cdot \frac{(x - 5) (x - 7)}{- x - 9} \frac{- 4}{7 - x}$

Étape 5.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 9) (x - 9)}{(x - 5) (x - 9)} \cdot \frac{(x - 5) (x - 7)}{- x - 9} \frac{- 4}{7 - x}$

Étape 5.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + 9) (x - 9)}{x - 9} \cdot \frac{x - 7}{- x - 9} \frac{- 4}{7 - x}$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{(x + 9) (x - 9)}{x - 9}$ par $\frac{x - 7}{- x - 9}$ .

$\frac{(x + 9) (x - 9) (x - 7)}{(x - 9) (- x - 9)} \cdot \frac{- 4}{7 - x}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $x - 9$ .

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 9) (x - 9) (x - 7)}{(x - 9) (- x - 9)} \cdot \frac{- 4}{7 - x}$

Étape 5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + 9) (x - 7)}{- x - 9} \cdot \frac{- 4}{7 - x}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun à $x + 9$ et $- x - 9$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{(- 1 (- x) + 9) (x - 7)}{- x - 9} \cdot \frac{- 4}{7 - x}$

Étape 5.4.2

Réécrivez $9$ comme $- 1 (- 9)$ .

$\frac{(- 1 (- x) - 1 (- 9)) (x - 7)}{- x - 9} \cdot \frac{- 4}{7 - x}$

Étape 5.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x) - 1 (- 9)$ .

$\frac{- 1 (- x - 9) (x - 7)}{- x - 9} \cdot \frac{- 4}{7 - x}$

Étape 5.4.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (- x - 9) (x - 7)}{- x - 9} \cdot \frac{- 4}{7 - x}$

Étape 5.4.5

Divisez $- 1 (x - 7)$ par $1$ .

$- 1 (x - 7) \frac{- 4}{7 - x}$

Étape 5.5

Réécrivez $- 1 (x - 7)$ comme $- (x - 7)$ .

$- (x - 7) \frac{- 4}{7 - x}$

Étape 5.6

Appliquez la propriété distributive.

$(- x - - 7) \frac{- 4}{7 - x}$

Étape 5.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$(- x + 7) \frac{- 4}{7 - x}$

Étape 5.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$(- x + 7) (- \frac{4}{7 - x})$

Étape 5.8

Appliquez la propriété distributive.

$- x (- \frac{4}{7 - x}) + 7 (- \frac{4}{7 - x})$

Étape 6

Multipliez $- x (- \frac{4}{7 - x})$ .

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 x \frac{4}{7 - x} + 7 (- \frac{4}{7 - x})$

Étape 6.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$x \frac{4}{7 - x} + 7 (- \frac{4}{7 - x})$

Étape 6.3

Associez $x$ et $\frac{4}{7 - x}$ .

$\frac{x \cdot 4}{7 - x} + 7 (- \frac{4}{7 - x})$

Étape 7

Multipliez $7 (- \frac{4}{7 - x})$ .

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$\frac{x \cdot 4}{7 - x} - 7 \frac{4}{7 - x}$

Étape 7.2

Associez $- 7$ et $\frac{4}{7 - x}$ .

$\frac{x \cdot 4}{7 - x} + \frac{- 7 \cdot 4}{7 - x}$

Étape 7.3

Multipliez $- 7$ par $4$ .

$\frac{x \cdot 4}{7 - x} + \frac{- 28}{7 - x}$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x \cdot 4 - 28}{7 - x}$

Étape 9

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x \cdot 4 - 28$ .

$\frac{4 x - 28}{7 - x}$

Étape 10

Factorisez $4$ à partir de $4 x - 28$ .

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Étape 10.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$\frac{4 (x) - 28}{7 - x}$

Étape 10.2

Factorisez $4$ à partir de $- 28$ .

$\frac{4 x + 4 \cdot - 7}{7 - x}$

Étape 10.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x + 4 \cdot - 7$ .

$\frac{4 (x - 7)}{7 - x}$

Étape 11

Annulez le facteur commun à $x - 7$ et $7 - x$ .

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Étape 11.1

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{4 (- 1 (- x) - 7)}{7 - x}$

Étape 11.2

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$\frac{4 (- 1 (- x) - 1 (7))}{7 - x}$

Étape 11.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x) - 1 (7)$ .

$\frac{4 (- 1 (- x + 7))}{7 - x}$

Étape 11.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4 (- 1 (- x + 7))}{- x + 7}$

Étape 11.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (- 1 (- x + 7))}{- x + 7}$

Étape 11.6

Divisez $4 \cdot (- 1)$ par $1$ .

$4 \cdot (- 1)$

Étape 12

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4$