Algèbre Exemples

$\frac{5 a b}{a^{2} - b^{2}} + \frac{a + b}{a - b}$

Étape 1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = b$ .

$\frac{5 a b}{(a + b) (a - b)} + \frac{a + b}{a - b}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{a + b}{a - b}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a + b}{a + b}$ .

$\frac{5 a b}{(a + b) (a - b)} + \frac{a + b}{a - b} \cdot \frac{a + b}{a + b}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(a + b) (a - b)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{a + b}{a - b}$ par $\frac{a + b}{a + b}$ .

$\frac{5 a b}{(a + b) (a - b)} + \frac{(a + b) (a + b)}{(a - b) (a + b)}$

Étape 3.2

Réorganisez les facteurs de $(a - b) (a + b)$ .

$\frac{5 a b}{(a + b) (a - b)} + \frac{(a + b) (a + b)}{(a + b) (a - b)}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 a b + (a + b) (a + b)}{(a + b) (a - b)}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Développez $(a + b) (a + b)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 a b + a (a + b) + b (a + b)}{(a + b) (a - b)}$

Étape 5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 a b + a \cdot a + a b + b (a + b)}{(a + b) (a - b)}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 a b + a \cdot a + a b + b a + b \cdot b}{(a + b) (a - b)}$

Étape 5.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{5 a b + a^{2} + a b + b a + b \cdot b}{(a + b) (a - b)}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$\frac{5 a b + a^{2} + a b + b a + b^{2}}{(a + b) (a - b)}$

Étape 5.2.2

Additionnez $a b$ et $b a$ .

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Étape 5.2.2.1

Remettez dans l’ordre $b$ et $a$ .

$\frac{5 a b + a^{2} + a b + a b + b^{2}}{(a + b) (a - b)}$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $a b$ et $a b$ .

$\frac{5 a b + a^{2} + 2 a b + b^{2}}{(a + b) (a - b)}$

Étape 5.3

Additionnez $5 a b$ et $2 a b$ .

$\frac{a^{2} + 7 a b + b^{2}}{(a + b) (a - b)}$