Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} (x + 2)}{(x + 2) (x + 1)} \leq 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x^{2} = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 3

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 3.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 4

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 5

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 6

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = - 2$

$x = - 1$

Étape 7

Consolidez les solutions.

$x = 0, - 2, - 1$

Étape 8

Déterminez le domaine de $\frac{x^{2} (x + 2)}{(x + 2) (x + 1)}$ .

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Étape 8.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} (x + 2)}{(x + 2) (x + 1)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$(x + 2) (x + 1) = 0$

Étape 8.2

Résolvez $x$ .

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Étape 8.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 8.2.2

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.2.2.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 8.2.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 8.2.3

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.2.3.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 8.2.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 8.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 2) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = - 2, - 1$

Étape 8.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 2$

$- 2 < x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 4)}^{2} ((- 4) + 2)}{((- 4) + 2) ((- 4) + 1)} \leq 0$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $- 5.\overline{3}$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 1.5$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $- 1.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 1.5)}^{2} ((- 1.5) + 2)}{((- 1.5) + 2) ((- 1.5) + 1)} \leq 0$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $- 4.5$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 0.5$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $- 0.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 0.5)}^{2} ((- 0.5) + 2)}{((- 0.5) + 2) ((- 0.5) + 1)} \leq 0$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $0.5$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 10.4.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(2)}^{2} ((2) + 2)}{((2) + 2) ((2) + 1)} \leq 0$

Étape 10.4.3

Le côté gauche $1.\overline{3}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 0$ Faux

$x > 0$ Faux

$x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 0$ Faux

$x > 0$ Faux

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 2$ ou $- 2 < x < - 1$ ou $x = 0$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < - 2 or - 2 < x < - 1 or x = 0$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - 1) \cup [0, 0]$

Étape 13