Algèbre Exemples

$x = \frac{1}{2} y^{2} + 2 y + 11$

Étape 1

Résolvez $y$ .

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + 11 = x$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + 11 = x$

Étape 1.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 2 y + 11 = x$

Étape 1.3

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{2}}{2} + 2 y + 11 - x = 0$

Étape 1.4

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $2$ , puis simplifiez.

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Étape 1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (2 y) + 2 \cdot 11 + 2 (- x) = 0$

Étape 1.4.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (2 y) + 2 \cdot 11 + 2 (- x) = 0$

Étape 1.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} + 2 (2 y) + 2 \cdot 11 + 2 (- x) = 0$

Étape 1.4.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y^{2} + 4 y + 2 \cdot 11 + 2 (- x) = 0$

Étape 1.4.2.3

Multipliez $2$ par $11$ .

$y^{2} + 4 y + 22 + 2 (- x) = 0$

Étape 1.4.2.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y^{2} + 4 y + 22 - 2 x = 0$

Étape 1.4.3

Déplacez $22$ .

$y^{2} + 4 y - 2 x + 22 = 0$

Étape 1.4.4

Déplacez $4 y$ .

$y^{2} - 2 x + 4 y + 22 = 0$

Étape 1.5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.6

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 4$ et $c = - 2 x + 22$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 2 x + 22))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7

Simplifiez

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Étape 1.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x + 22)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 2 x + 22)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot 22}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.1.4

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x - 4 \cdot 22}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.1.5

Multipliez $- 4$ par $22$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x - 88}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.1.6

Soustrayez $88$ de $16$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x - 72}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.1.7

Factorisez $8$ à partir de $8 x - 72$ .

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Étape 1.7.1.7.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x) - 72}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.1.7.2

Factorisez $8$ à partir de $- 72$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x + 8 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.1.7.3

Factorisez $8$ à partir de $8 x + 8 \cdot - 9$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x - 9)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.1.8

Réécrivez $8 (x - 9)$ comme $2^{2} \cdot (2 (x - 9))$ .

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Étape 1.7.1.8.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2) (x - 9)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x - 9))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.1.8.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x - 9))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 9)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 9)}}{2}$

Étape 1.7.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 9)}}{2}$ .

$y = - 2 \pm \sqrt{2 (x - 9)}$

Étape 1.8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.8.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x + 22)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.8.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 2 x + 22)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot 22}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.8.1.4

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x - 4 \cdot 22}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.8.1.5

Multipliez $- 4$ par $22$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x - 88}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.8.1.6

Soustrayez $88$ de $16$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x - 72}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.8.1.7

Factorisez $8$ à partir de $8 x - 72$ .

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Étape 1.8.1.7.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x) - 72}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.8.1.7.2

Factorisez $8$ à partir de $- 72$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x + 8 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.8.1.7.3

Factorisez $8$ à partir de $8 x + 8 \cdot - 9$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x - 9)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.8.1.8

Réécrivez $8 (x - 9)$ comme $2^{2} \cdot (2 (x - 9))$ .

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Étape 1.8.1.8.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2) (x - 9)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.8.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x - 9))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.8.1.8.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x - 9))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.8.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 9)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.8.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 9)}}{2}$

Étape 1.8.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 9)}}{2}$ .

$y = - 2 \pm \sqrt{2 (x - 9)}$

Étape 1.8.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = - 2 + \sqrt{2 (x - 9)}$

Étape 1.9

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.9.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x + 22)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.9.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 2 x + 22)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.9.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot 22}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.9.1.4

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x - 4 \cdot 22}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.9.1.5

Multipliez $- 4$ par $22$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 8 x - 88}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.9.1.6

Soustrayez $88$ de $16$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x - 72}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.9.1.7

Factorisez $8$ à partir de $8 x - 72$ .

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Étape 1.9.1.7.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x) - 72}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.9.1.7.2

Factorisez $8$ à partir de $- 72$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 x + 8 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.9.1.7.3

Factorisez $8$ à partir de $8 x + 8 \cdot - 9$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (x - 9)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.9.1.8

Réécrivez $8 (x - 9)$ comme $2^{2} \cdot (2 (x - 9))$ .

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Étape 1.9.1.8.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2) (x - 9)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.9.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x - 9))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.9.1.8.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x - 9))}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.9.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 9)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.9.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 9)}}{2}$

Étape 1.9.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 9)}}{2}$ .

$y = - 2 \pm \sqrt{2 (x - 9)}$

Étape 1.9.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = - 2 - \sqrt{2 (x - 9)}$

Étape 1.10

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - 2 + \sqrt{2 (x - 9)}$

$y = - 2 - \sqrt{2 (x - 9)}$

$y = - 2 + \sqrt{2 (x - 9)}$

$y = - 2 - \sqrt{2 (x - 9)}$

Étape 2

Pour écrire un polynôme en forme normalisée, simplifiez puis classez les termes par ordre décroissant.

$y = a x^{2} + b x + c$

Étape 3

La forme normalisée est $- 2 + \sqrt{2 (x - 9)}, - 2 - \sqrt{2 (x - 9)}$ .

$y = - 2 + \sqrt{2 (x - 9)}$

$y = - 2 - \sqrt{2 (x - 9)}$

Étape 4