Algèbre Exemples

$2^{x} \cdot 3^{x + 1} = 15$

Étape 1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (2^{x} \cdot 3^{x + 1}) = \ln (15)$

Étape 2

Développez le côté gauche.

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Étape 2.1

Réécrivez $\ln (2^{x} \cdot 3^{x + 1})$ comme $\ln (2^{x}) + \ln (3^{x + 1})$ .

$\ln (2^{x}) + \ln (3^{x + 1}) = \ln (15)$

Étape 2.2

Développez $\ln (2^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (2) + \ln (3^{x + 1}) = \ln (15)$

Étape 2.3

Développez $\ln (3^{x + 1})$ en déplaçant $x + 1$ hors du logarithme.

$x \ln (2) + (x + 1) \ln (3) = \ln (15)$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (2) + x \ln (3) + 1 \ln (3) = \ln (15)$

Étape 3.1.2

Multipliez $\ln (3)$ par $1$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (3) = \ln (15)$

Étape 4

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (3) - \ln (15) = 0$

Étape 5

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (\frac{3}{15}) = 0$

Étape 6

Annulez le facteur commun à $3$ et $15$ .

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Étape 6.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (\frac{3 (1)}{15}) = 0$

Étape 6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $15$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5}) = 0$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5}) = 0$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (\frac{1}{5}) = 0$

Étape 7

Soustrayez $\ln (\frac{1}{5})$ des deux côtés de l’équation.

$x \ln (2) + x \ln (3) = - \ln (\frac{1}{5})$

Étape 8

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (2) + x \ln (3)$ .

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Étape 8.1

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (2)$ .

$x (\ln (2)) + x \ln (3) = - \ln (\frac{1}{5})$

Étape 8.2

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (3)$ .

$x (\ln (2)) + x (\ln (3)) = - \ln (\frac{1}{5})$

Étape 8.3

Factorisez $x$ à partir de $x (\ln (2)) + x (\ln (3))$ .

$x (\ln (2) + \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{5})$

Étape 9

Divisez chaque terme dans $x (\ln (2) + \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{5})$ par $\ln (2) + \ln (3)$ et simplifiez.

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Étape 9.1

Divisez chaque terme dans $x (\ln (2) + \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{5})$ par $\ln (2) + \ln (3)$ .

$\frac{x (\ln (2) + \ln (3))}{\ln (2) + \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{\ln (2) + \ln (3)}$

Étape 9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (2) + \ln (3)$ .

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Étape 9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (\ln (2) + \ln (3))}{\ln (2) + \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{\ln (2) + \ln (3)}$

Étape 9.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{\ln (2) + \ln (3)}$

Étape 9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{5})}{\ln (2) + \ln (3)}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{5})}{\ln (2) + \ln (3)}$

Forme décimale :

$x = 0.89824440 \dots$