Algèbre Exemples

$y^{4} = 2 - y^{2}$

Étape 1

Ajoutez $y^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{4} + y^{2} = 2$

Étape 2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$y^{4} + y^{2} - 2 = 0$

Étape 3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Réécrivez $y^{4}$ comme ${(y^{2})}^{2}$ .

${(y^{2})}^{2} + y^{2} - 2 = 0$

Étape 3.2

Laissez $u = y^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $y^{2}$ par $u$ .

$u^{2} + u - 2 = 0$

Étape 3.3

Factorisez $u^{2} + u - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $1$ .

$- 1, 2$

Étape 3.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 1) (u + 2) = 0$

Étape 3.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y^{2}$ .

$(y^{2} - 1) (y^{2} + 2) = 0$

Étape 3.5

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(y^{2} - 1^{2}) (y^{2} + 2) = 0$

Étape 3.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 1$ .

$(y + 1) (y - 1) (y^{2} + 2) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y + 1 = 0$

$y - 1 = 0$

$y^{2} + 2 = 0$

Étape 5

Définissez $y + 1$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Définissez $y + 1$ égal à $0$ .

$y + 1 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 1$

Étape 6

Définissez $y - 1$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 6.1

Définissez $y - 1$ égal à $0$ .

$y - 1 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 1$

Étape 7

Définissez $y^{2} + 2$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 7.1

Définissez $y^{2} + 2$ égal à $0$ .

$y^{2} + 2 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $y^{2} + 2 = 0$ pour $y$ .

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Étape 7.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} = - 2$

Étape 7.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{- 2}$

Étape 7.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Étape 7.2.3.1

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$y = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Étape 7.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (2)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Étape 7.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \pm i \sqrt{2}$

Étape 7.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = i \sqrt{2}$

Étape 7.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - i \sqrt{2}$

Étape 7.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(y + 1) (y - 1) (y^{2} + 2) = 0$ vraie.

$y = - 1, 1, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$