Algèbre Exemples

$\csc^{2} (θ) - 2 = 0$

Étape 1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$\csc^{2} (θ) = 2$

Étape 2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\csc (θ) = \pm \sqrt{2}$

Étape 3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\csc (θ) = \sqrt{2}$

Étape 3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\csc (θ) = - \sqrt{2}$

Étape 3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\csc (θ) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 4

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $θ$ .

$\csc (θ) = \sqrt{2}$

$\csc (θ) = - \sqrt{2}$

Étape 5

Résolvez $θ$ dans $\csc (θ) = \sqrt{2}$ .

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Étape 5.1

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la cosécante.

$θ = arccsc (\sqrt{2})$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

La valeur exacte de $arccsc (\sqrt{2})$ est $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Étape 5.3

La fonction cosécante est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$θ = π - \frac{π}{4}$

Étape 5.4

Simplifiez $π - \frac{π}{4}$ .

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Étape 5.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$θ = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 5.4.2

Associez les fractions.

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Étape 5.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 5.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$θ = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$θ = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Étape 5.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Étape 5.5

Déterminez la période de $\csc (θ)$ .

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Étape 5.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.6

La période de la fonction $\csc (θ)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Résolvez $θ$ dans $\csc (θ) = - \sqrt{2}$ .

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Étape 6.1

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la cosécante.

$θ = arccsc (- \sqrt{2})$

Étape 6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.1

La valeur exacte de $arccsc (- \sqrt{2})$ est $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Étape 6.3

La fonction cosécante est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$θ = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Étape 6.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 6.4.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Étape 6.4.2

L’angle résultant de $\frac{5 π}{4}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Étape 6.5

Déterminez la période de $\csc (θ)$ .

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Étape 6.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6.6

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 6.6.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{4}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Étape 6.6.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 6.6.3

Associez les fractions.

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Étape 6.6.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 6.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 6.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.6.4.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Étape 6.6.4.2

Soustrayez $π$ de $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Étape 6.6.5

Indiquez les nouveaux angles.

$θ = \frac{7 π}{4}$

Étape 6.7

La période de la fonction $\csc (θ)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Indiquez toutes les solutions.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Consolidez les réponses.

$θ = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$