Algèbre Exemples

$\frac{- 7 - i}{- 8 + i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{- 7 - i}{- 8 + 1 i}$ par le conjugué de $- 8 + 1 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{- 7 - i}{- 8 + 1 i} \cdot \frac{- 8 - i}{- 8 - i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{(- 7 - i) (- 8 - i)}{(- 8 + 1 i) (- 8 - i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Développez $(- 7 - i) (- 8 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 7 (- 8 - i) - i (- 8 - i)}{(- 8 + 1 i) (- 8 - i)}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 7 \cdot - 8 - 7 (- i) - i (- 8 - i)}{(- 8 + 1 i) (- 8 - i)}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 7 \cdot - 8 - 7 (- i) - i \cdot - 8 - i (- i)}{(- 8 + 1 i) (- 8 - i)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $- 7$ par $- 8$ .

$\frac{56 - 7 (- i) - i \cdot - 8 - i (- i)}{(- 8 + 1 i) (- 8 - i)}$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$\frac{56 + 7 i - i \cdot - 8 - i (- i)}{(- 8 + 1 i) (- 8 - i)}$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$\frac{56 + 7 i + 8 i - i (- i)}{(- 8 + 1 i) (- 8 - i)}$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $- i (- i)$ .

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Étape 2.2.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{56 + 7 i + 8 i + 1 i i}{(- 8 + 1 i) (- 8 - i)}$

Étape 2.2.2.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{56 + 7 i + 8 i + 1 (i^{1} i)}{(- 8 + 1 i) (- 8 - i)}$

Étape 2.2.2.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{56 + 7 i + 8 i + 1 (i^{1} i^{1})}{(- 8 + 1 i) (- 8 - i)}$

Étape 2.2.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{56 + 7 i + 8 i + 1 i^{1 + 1}}{(- 8 + 1 i) (- 8 - i)}$

Étape 2.2.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{56 + 7 i + 8 i + 1 i^{2}}{(- 8 + 1 i) (- 8 - i)}$

Étape 2.2.2.1.4.6

Multipliez $i^{2}$ par $1$ .

$\frac{56 + 7 i + 8 i + i^{2}}{(- 8 + 1 i) (- 8 - i)}$

Étape 2.2.2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{56 + 7 i + 8 i - 1}{(- 8 + 1 i) (- 8 - i)}$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $1$ de $56$ .

$\frac{55 + 7 i + 8 i}{(- 8 + 1 i) (- 8 - i)}$

Étape 2.2.2.3

Additionnez $7 i$ et $8 i$ .

$\frac{55 + 15 i}{(- 8 + 1 i) (- 8 - i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(- 8 + 1 i) (- 8 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{55 + 15 i}{- 8 (- 8 - i) + 1 i (- 8 - i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{55 + 15 i}{- 8 \cdot - 8 - 8 (- i) + 1 i (- 8 - i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{55 + 15 i}{- 8 \cdot - 8 - 8 (- i) + 1 i \cdot - 8 + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $- 8$ par $- 8$ .

$\frac{55 + 15 i}{64 - 8 (- i) + 1 i \cdot - 8 + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$\frac{55 + 15 i}{64 + 8 i + 1 i \cdot - 8 + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$\frac{55 + 15 i}{64 + 8 i - 8 i + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{55 + 15 i}{64 + 8 i - 8 i - i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{55 + 15 i}{64 + 8 i - 8 i - (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{55 + 15 i}{64 + 8 i - 8 i - (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{55 + 15 i}{64 + 8 i - 8 i - i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{55 + 15 i}{64 + 8 i - 8 i - i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Soustrayez $8 i$ de $8 i$ .

$\frac{55 + 15 i}{64 + 0 - i^{2}}$

Étape 2.3.2.10

Additionnez $64$ et $0$ .

$\frac{55 + 15 i}{64 - i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{55 + 15 i}{64 - - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{55 + 15 i}{64 + 1}$

Étape 2.3.4

Additionnez $64$ et $1$ .

$\frac{55 + 15 i}{65}$

Étape 3

Annulez le facteur commun à $55 + 15 i$ et $65$ .

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Étape 3.1

Factorisez $5$ à partir de $55$ .

$\frac{5 (11) + 15 i}{65}$

Étape 3.2

Factorisez $5$ à partir de $15 i$ .

$\frac{5 (11) + 5 (3 i)}{65}$

Étape 3.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (11) + 5 (3 i)$ .

$\frac{5 (11 + 3 i)}{65}$

Étape 3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.1

Factorisez $5$ à partir de $65$ .

$\frac{5 (11 + 3 i)}{5 \cdot 13}$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (11 + 3 i)}{5 \cdot 13}$

Étape 3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{11 + 3 i}{13}$

Étape 4

Divisez la fraction $\frac{11 + 3 i}{13}$ en deux fractions.

$\frac{11}{13} + \frac{3 i}{13}$