Algèbre Exemples

$6 x^{2} - 9 \leq - 11 x - 7$

Étape 1

Ajoutez $11 x$ aux deux côtés de l’inégalité.

$6 x^{2} - 9 + 11 x \leq - 7$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$6 x^{2} - 9 + 11 x = - 7$

Étape 3

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$6 x^{2} - 9 + 11 x + 7 = 0$

Étape 4

Additionnez $- 9$ et $7$ .

$6 x^{2} + 11 x - 2 = 0$

Étape 5

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 6 \cdot - 2 = - 12$ et dont la somme est $b = 11$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $11$ à partir de $11 x$ .

$6 x^{2} + 11 (x) - 2 = 0$

Étape 5.1.2

Réécrivez $11$ comme $- 1$ plus $12$

$6 x^{2} + (- 1 + 12) x - 2 = 0$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$6 x^{2} - 1 x + 12 x - 2 = 0$

Étape 5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(6 x^{2} - 1 x) + 12 x - 2 = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (6 x - 1) + 2 (6 x - 1) = 0$

Étape 5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $6 x - 1$ .

$(6 x - 1) (x + 2) = 0$

Étape 6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$6 x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 7

Définissez $6 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $6 x - 1$ égal à $0$ .

$6 x - 1 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $6 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$6 x = 1$

Étape 7.2.2

Divisez chaque terme dans $6 x = 1$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $6 x = 1$ par $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{1}{6}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x}{6} = \frac{1}{6}$

Étape 7.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{6}$

Étape 8

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 8.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(6 x - 1) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{6}, - 2$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 2$

$- 2 < x < \frac{1}{6}$

$x > \frac{1}{6}$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$6 {(- 4)}^{2} - 9 \leq - 11 \cdot - 4 - 7$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $87$ est supérieur au côté droit $37$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < \frac{1}{6}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < \frac{1}{6}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$6 {(0)}^{2} - 9 \leq - 11 \cdot 0 - 7$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $- 9$ est inférieur au côté droit $- 7$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{6}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{6}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$6 {(3)}^{2} - 9 \leq - 11 \cdot 3 - 7$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $45$ est supérieur au côté droit $- 40$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 2$ Faux

$- 2 < x < \frac{1}{6}$ Vrai

$x > \frac{1}{6}$ Faux

$x < - 2$ Faux

$- 2 < x < \frac{1}{6}$ Vrai

$x > \frac{1}{6}$ Faux

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 2 \leq x \leq \frac{1}{6}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 2 \leq x \leq \frac{1}{6}$

Notation d’intervalle :

$[- 2, \frac{1}{6}]$

Étape 14