Algèbre Exemples

$3 x^{4} - x^{2} + 6 = 0$

Étape 1

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$3 u^{2} - u + 6 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = - 1$ et $c = 6$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 6)}}{2 \cdot 3}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot 6}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 6$ .

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot 6}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $6$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 72}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $72$ de $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 71}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.1.4

Réécrivez $- 71$ comme $- 1 (71)$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 71}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (71)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{71}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{71}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{71}}{2 \cdot 3}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{71}}{6}$

Étape 5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot 6}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 6$ .

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot 6}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $6$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 72}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.1.3

Soustrayez $72$ de $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 71}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.1.4

Réécrivez $- 71$ comme $- 1 (71)$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 71}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (71)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{71}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{71}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{71}}{2 \cdot 3}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{71}}{6}$

Étape 5.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$u = \frac{1 + i \sqrt{71}}{6}$

Étape 6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot 6}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 6$ .

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot 6}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $6$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 72}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.1.3

Soustrayez $72$ de $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 71}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.1.4

Réécrivez $- 71$ comme $- 1 (71)$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 71}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (71)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{71}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{71}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{71}}{2 \cdot 3}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{71}}{6}$

Étape 6.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$u = \frac{1 - i \sqrt{71}}{6}$

Étape 7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = \frac{1 + i \sqrt{71}}{6}, \frac{1 - i \sqrt{71}}{6}$

Étape 8

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = \frac{1 + i \sqrt{71}}{6}$

${(x^{2})}^{1} = \frac{1 - i \sqrt{71}}{6}$

Étape 9

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = \frac{1 + i \sqrt{71}}{6}$

Étape 10

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 10.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{1 + i \sqrt{71}}{6}}$

Étape 10.2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1 + i \sqrt{71}}{6}}$ .

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Étape 10.2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1 + i \sqrt{71}}{6}}$ comme $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}}}{\sqrt{6}}$

Étape 10.2.2

Multipliez $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}}}{\sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Étape 10.2.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}}}{\sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Étape 10.2.3.2

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Étape 10.2.3.3

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Étape 10.2.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Étape 10.2.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Étape 10.2.3.6

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 10.2.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 10.2.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 10.2.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 10.2.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 10.2.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Étape 10.2.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{6}$

Étape 10.2.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}$

Étape 10.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 10.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}$

Étape 10.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}$

Étape 10.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}$

Étape 11

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = \frac{1 - i \sqrt{71}}{6}$

Étape 12

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 12.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = \frac{1 - i \sqrt{71}}{6}$

Étape 12.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{1 - i \sqrt{71}}{6}}$

Étape 12.3

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1 - i \sqrt{71}}{6}}$ .

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Étape 12.3.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1 - i \sqrt{71}}{6}}$ comme $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}}}{\sqrt{6}}$

Étape 12.3.2

Multipliez $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}}}{\sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Étape 12.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.3.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}}}{\sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Étape 12.3.3.2

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Étape 12.3.3.3

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Étape 12.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Étape 12.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Étape 12.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 12.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 12.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 12.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 12.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 12.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Étape 12.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{6}$

Étape 12.3.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}$

Étape 12.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 12.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}$

Étape 12.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}$

Étape 12.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}$

Étape 13

La solution à $3 x^{4} - x^{2} + 6 = 0$ est $x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}, \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}$ .

$x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}, \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}$