Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{12} - \sqrt{2}}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{4 (3)} - \sqrt{2}}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2}}$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{2 \sqrt{3} - \sqrt{2}}$

Étape 2

Multipliez $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{2 \sqrt{3} - \sqrt{2}}$ par $\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2}}{2 \sqrt{3} + \sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{2 \sqrt{3} - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2}}{2 \sqrt{3} + \sqrt{2}}$

Étape 3

Associez les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{2 \sqrt{3} - \sqrt{2}}$ par $\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2}}{2 \sqrt{3} + \sqrt{2}}$ .

$\frac{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (2 \sqrt{3} + \sqrt{2})}{(2 \sqrt{3} - \sqrt{2}) (2 \sqrt{3} + \sqrt{2})}$

Étape 3.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (2 \sqrt{3} + \sqrt{2})}{4 {\sqrt{3}}^{2} + 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{6} - {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (2 \sqrt{3} + \sqrt{2})}{10}$

Étape 4

Développez $(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (2 \sqrt{3} + \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{3} (2 \sqrt{3} + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (2 \sqrt{3} + \sqrt{2})}{10}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{3} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{2} (2 \sqrt{3} + \sqrt{2})}{10}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{3} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{2} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{2} \sqrt{2}}{10}$

Étape 5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Multipliez $\sqrt{3} (2 \sqrt{3})$ .

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Étape 5.1.1.1

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{2} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{2} \sqrt{2}}{10}$

Étape 5.1.1.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{2} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{2} \sqrt{2}}{10}$

Étape 5.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1} + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{2} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{2} \sqrt{2}}{10}$

Étape 5.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2} + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{2} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{2} \sqrt{2}}{10}$

Étape 5.1.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 5.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{2} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{2} \sqrt{2}}{10}$

Étape 5.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{2} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{2} \sqrt{2}}{10}$

Étape 5.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{2} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{2} \sqrt{2}}{10}$

Étape 5.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{2} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{2} \sqrt{2}}{10}$

Étape 5.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \cdot 3^{1} + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{2} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{2} \sqrt{2}}{10}$

Étape 5.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{2} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{2} \sqrt{2}}{10}$

Étape 5.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{2} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{2} \sqrt{2}}{10}$

Étape 5.1.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{6 + \sqrt{3 \cdot 2} + \sqrt{2} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{2} \sqrt{2}}{10}$

Étape 5.1.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 + \sqrt{6} + \sqrt{2} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{2} \sqrt{2}}{10}$

Étape 5.1.6

Multipliez $\sqrt{2} (2 \sqrt{3})$ .

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Étape 5.1.6.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{6 + \sqrt{6} + 2 \sqrt{2 \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{10}$

Étape 5.1.6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6 + \sqrt{6} + 2 \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{10}$

Étape 5.1.7

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{6 + \sqrt{6} + 2 \sqrt{6} + \sqrt{2 \cdot 2}}{10}$

Étape 5.1.8

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{6 + \sqrt{6} + 2 \sqrt{6} + \sqrt{4}}{10}$

Étape 5.1.9

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{6 + \sqrt{6} + 2 \sqrt{6} + \sqrt{2^{2}}}{10}$

Étape 5.1.10

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{6 + \sqrt{6} + 2 \sqrt{6} + 2}{10}$

Étape 5.2

Additionnez $6$ et $2$ .

$\frac{8 + \sqrt{6} + 2 \sqrt{6}}{10}$

Étape 5.3

Additionnez $\sqrt{6}$ et $2 \sqrt{6}$ .

$\frac{8 + 3 \sqrt{6}}{10}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{8 + 3 \sqrt{6}}{10}$

Forme décimale :

$1.53484692 \dots$