Algèbre Exemples

$\frac{3}{x + 1} + \frac{4}{2 x - 6} - \frac{x^{2} - 5}{x^{2} - 2 x - 3}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $2 x - 6$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{3}{x + 1} + \frac{2 \cdot 2}{2 x - 6} - \frac{x^{2} - 5}{x^{2} - 2 x - 3}$

Étape 1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{3}{x + 1} + \frac{2 \cdot 2}{2 (x) - 6} - \frac{x^{2} - 5}{x^{2} - 2 x - 3}$

Étape 1.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$\frac{3}{x + 1} + \frac{2 \cdot 2}{2 (x) + 2 (- 3)} - \frac{x^{2} - 5}{x^{2} - 2 x - 3}$

Étape 1.1.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (- 3)$ .

$\frac{3}{x + 1} + \frac{2 \cdot 2}{2 (x - 3)} - \frac{x^{2} - 5}{x^{2} - 2 x - 3}$

Étape 1.1.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{x + 1} + \frac{2 \cdot 2}{2 (x - 3)} - \frac{x^{2} - 5}{x^{2} - 2 x - 3}$

Étape 1.1.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{x + 1} + \frac{2}{x - 3} - \frac{x^{2} - 5}{x^{2} - 2 x - 3}$

Étape 1.2

Factorisez $x^{2} - 2 x - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 3, 1$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{3}{x + 1} + \frac{2}{x - 3} - \frac{x^{2} - 5}{(x - 3) (x + 1)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{3}{x + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{3}{x + 1} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{2}{x - 3} - \frac{x^{2} - 5}{(x - 3) (x + 1)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{2}{x - 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{3}{x + 1} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{2}{x - 3} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x^{2} - 5}{(x - 3) (x + 1)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 1) (x - 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{3}{x + 1}$ par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{3 (x - 3)}{(x + 1) (x - 3)} + \frac{2}{x - 3} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x^{2} - 5}{(x - 3) (x + 1)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{2}{x - 3}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{3 (x - 3)}{(x + 1) (x - 3)} + \frac{2 (x + 1)}{(x - 3) (x + 1)} - \frac{x^{2} - 5}{(x - 3) (x + 1)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 3) (x + 1)$ .

$\frac{3 (x - 3)}{(x + 1) (x - 3)} + \frac{2 (x + 1)}{(x + 1) (x - 3)} - \frac{x^{2} - 5}{(x - 3) (x + 1)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 (x - 3) + 2 (x + 1)}{(x + 1) (x - 3)} - \frac{x^{2} - 5}{(x - 3) (x + 1)}$

Étape 5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 (x - 3) + 2 (x + 1) - (x^{2} - 5)}{(x + 1) (x - 3)}$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x + 3 \cdot - 3 + 2 (x + 1) - (x^{2} - 5)}{(x + 1) (x - 3)}$

Étape 6.2

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$\frac{3 x - 9 + 2 (x + 1) - (x^{2} - 5)}{(x + 1) (x - 3)}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x - 9 + 2 x + 2 \cdot 1 - (x^{2} - 5)}{(x + 1) (x - 3)}$

Étape 6.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{3 x - 9 + 2 x + 2 - (x^{2} - 5)}{(x + 1) (x - 3)}$

Étape 6.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x - 9 + 2 x + 2 - x^{2} - - 5}{(x + 1) (x - 3)}$

Étape 6.6

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$\frac{3 x - 9 + 2 x + 2 - x^{2} + 5}{(x + 1) (x - 3)}$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Additionnez $3 x$ et $2 x$ .

$\frac{5 x - 9 + 2 - x^{2} + 5}{(x + 1) (x - 3)}$

Étape 7.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.2.1

Additionnez $- 9$ et $2$ .

$\frac{5 x - 7 - x^{2} + 5}{(x + 1) (x - 3)}$

Étape 7.2.2

Additionnez $- 7$ et $5$ .

$\frac{5 x - x^{2} - 2}{(x + 1) (x - 3)}$

Étape 7.2.3

Remettez dans l’ordre $5 x$ et $- x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 5 x - 2}{(x + 1) (x - 3)}$

Étape 7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + 5 x - 2}{(x + 1) (x - 3)}$

Étape 7.4

Factorisez $- 1$ à partir de $5 x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (- 5 x) - 2}{(x + 1) (x - 3)}$

Étape 7.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (- 5 x)$ .

$\frac{- (x^{2} - 5 x) - 2}{(x + 1) (x - 3)}$

Étape 7.6

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$\frac{- (x^{2} - 5 x) - 1 (2)}{(x + 1) (x - 3)}$

Étape 7.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - 5 x) - 1 (2)$ .

$\frac{- (x^{2} - 5 x + 2)}{(x + 1) (x - 3)}$

Étape 7.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.8.1

Réécrivez $- (x^{2} - 5 x + 2)$ comme $- 1 (x^{2} - 5 x + 2)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - 5 x + 2)}{(x + 1) (x - 3)}$

Étape 7.8.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2} - 5 x + 2}{(x + 1) (x - 3)}$