Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 3 x - 18} \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 6}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 3 x - 18} \cdot \frac{x^{2} - 7 x + 6}{x^{2} - 1}$

Étape 2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1^{2}}{x^{2} - 3 x - 18} \cdot \frac{x^{2} - 7 x + 6}{x^{2} - 1}$

Étape 2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{x^{2} - 3 x - 18} \cdot \frac{x^{2} - 7 x + 6}{x^{2} - 1}$

Étape 2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 3 x - 18} \cdot \frac{x^{2} - 7 x + 6}{x^{2} - 1}$

Étape 3

Factorisez $x^{2} - 3 x - 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 18$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 6, 3$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{(x - 6) (x + 3)} \cdot \frac{x^{2} - 7 x + 6}{x^{2} - 1}$

Étape 4

Factorisez $x^{2} - 7 x + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $- 7$ .

$- 6, - 1$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{(x - 6) (x + 3)} \cdot \frac{(x - 6) (x - 1)}{x^{2} - 1}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{(x - 6) (x + 3)} \cdot \frac{(x - 6) (x - 1)}{x^{2} - 1^{2}}$

Étape 5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{(x - 6) (x + 3)} \cdot \frac{(x - 6) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 6

Associez.

$\frac{{(x + 1)}^{2} ((x - 6) (x - 1))}{(x - 6) (x + 3) ((x + 1) (x - 1))}$

Étape 7

Annulez le facteur commun à ${(x + 1)}^{2}$ et $x + 1$ .

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Étape 7.1

Factorisez $x + 1$ à partir de ${(x + 1)}^{2} ((x - 6) (x - 1))$ .

$\frac{(x + 1) ((x + 1) ((x - 6) (x - 1)))}{(x - 6) (x + 3) ((x + 1) (x - 1))}$

Étape 7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.1

Factorisez $x + 1$ à partir de $(x - 6) (x + 3) ((x + 1) (x - 1))$ .

$\frac{(x + 1) ((x + 1) ((x - 6) (x - 1)))}{(x + 1) ((x - 6) (x + 3) (x - 1))}$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) ((x + 1) ((x - 6) (x - 1)))}{(x + 1) ((x - 6) (x + 3) (x - 1))}$

Étape 7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + 1) ((x - 6) (x - 1))}{(x - 6) (x + 3) (x - 1)}$

Étape 8

Annulez le facteur commun de $x - 6$ .

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) ((x - 6) (x - 1))}{(x - 6) (x + 3) (x - 1)}$

Étape 8.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 3) (x - 1)}$

Étape 9

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 3) (x - 1)}$

Étape 9.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 1}{x + 3}$