Algèbre Exemples

$3 {(t^{2} - 16)}^{2} + 19 (t^{2} - 16) = - 6$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 {(t^{2} - 16)}^{2} + 19 t^{2} + 19 \cdot - 16 = - 6$

Étape 1.2

Multipliez $19$ par $- 16$ .

$3 {(t^{2} - 16)}^{2} + 19 t^{2} - 304 = - 6$

Étape 2

Remplacez $u = t^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$3 u^{2} - 77 u + 464 = - 6$

$u = t^{2}$

Étape 3

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$3 u^{2} - 77 u + 464 + 6 = 0$

Étape 4

Additionnez $464$ et $6$ .

$3 u^{2} - 77 u + 470 = 0$

Étape 5

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 470 = 1410$ et dont la somme est $b = - 77$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $- 77$ à partir de $- 77 u$ .

$3 u^{2} - 77 u + 470 = 0$

Étape 5.1.2

Réécrivez $- 77$ comme $- 30$ plus $- 47$

$3 u^{2} + (- 30 - 47) u + 470 = 0$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 u^{2} - 30 u - 47 u + 470 = 0$

Étape 5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 u^{2} - 30 u) - 47 u + 470 = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$3 u (u - 10) - 47 (u - 10) = 0$

Étape 5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $u - 10$ .

$(u - 10) (3 u - 47) = 0$

Étape 6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 10 = 0$

$3 u - 47 = 0$

Étape 7

Définissez $u - 10$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 7.1

Définissez $u - 10$ égal à $0$ .

$u - 10 = 0$

Étape 7.2

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 10$

Étape 8

Définissez $3 u - 47$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 8.1

Définissez $3 u - 47$ égal à $0$ .

$3 u - 47 = 0$

Étape 8.2

Résolvez $3 u - 47 = 0$ pour $u$ .

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Étape 8.2.1

Ajoutez $47$ aux deux côtés de l’équation.

$3 u = 47$

Étape 8.2.2

Divisez chaque terme dans $3 u = 47$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 8.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 u = 47$ par $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{47}{3}$

Étape 8.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 u}{3} = \frac{47}{3}$

Étape 8.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{47}{3}$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 10) (3 u - 47) = 0$ vraie.

$u = 10, \frac{47}{3}$

Étape 10

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = t^{2}$ dans l’équation résolue.

$t^{2} = 10$

${(t^{2})}^{1} = \frac{47}{3}$

Étape 11

Résolvez la première équation pour $t$ .

$t^{2} = 10$

Étape 12

Résolvez l’équation pour $t$ .

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Étape 12.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$t = \pm \sqrt{10}$

Étape 12.2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 12.2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$t = \sqrt{10}$

Étape 12.2.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$t = - \sqrt{10}$

Étape 12.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$t = \sqrt{10}, - \sqrt{10}$

Étape 13

Résolvez la deuxième équation pour $t$ .

${(t^{2})}^{1} = \frac{47}{3}$

Étape 14

Résolvez l’équation pour $t$ .

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Étape 14.1

Supprimez les parenthèses.

$t^{2} = \frac{47}{3}$

Étape 14.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$t = \pm \sqrt{\frac{47}{3}}$

Étape 14.3

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{47}{3}}$ .

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Étape 14.3.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{47}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{47}}{\sqrt{3}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{47}}{\sqrt{3}}$

Étape 14.3.2

Multipliez $\frac{\sqrt{47}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{47}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 14.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.3.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{47}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 14.3.3.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 14.3.3.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 14.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 14.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 14.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 14.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 14.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 14.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 14.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 14.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 14.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$t = \pm \frac{\sqrt{47} \sqrt{3}}{3}$

Étape 14.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.3.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$t = \pm \frac{\sqrt{47 \cdot 3}}{3}$

Étape 14.3.4.2

Multipliez $47$ par $3$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{141}}{3}$

Étape 14.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 14.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$t = \frac{\sqrt{141}}{3}$

Étape 14.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$t = - \frac{\sqrt{141}}{3}$

Étape 14.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$t = \frac{\sqrt{141}}{3}, - \frac{\sqrt{141}}{3}$

Étape 15

La solution à $3 t^{4} - 77 t^{2} + 464 = - 6$ est $t = \sqrt{10}, - \sqrt{10}, \frac{\sqrt{141}}{3}, - \frac{\sqrt{141}}{3}$ .

$t = \sqrt{10}, - \sqrt{10}, \frac{\sqrt{141}}{3}, - \frac{\sqrt{141}}{3}$

Étape 16

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$t = \sqrt{10}, - \sqrt{10}, \frac{\sqrt{141}}{3}, - \frac{\sqrt{141}}{3}$

Forme décimale :

$t = 3.16227766 \dots, - 3.16227766 \dots, 3.95811402 \dots, - 3.95811402 \dots$