Algèbre Exemples

$x^{3} - 27 x < 0$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{3} - 27 x = 0$

Étape 2

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} - 27 x$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 27 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 27 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 27 = 0$

Étape 2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 27$ .

$x (x^{2} - 27) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 27 = 0$

Étape 4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5

Définissez $x^{2} - 27$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x^{2} - 27$ égal à $0$ .

$x^{2} - 27 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $x^{2} - 27 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Ajoutez $27$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 27$

Étape 5.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{27}$

Étape 5.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{27}$ .

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Étape 5.2.3.1

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 5.2.3.1.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$x = \pm \sqrt{9 (3)}$

Étape 5.2.3.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 3}$

Étape 5.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm 3 \sqrt{3}$

Étape 5.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3 \sqrt{3}$

Étape 5.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3 \sqrt{3}$

Étape 5.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3 \sqrt{3}, - 3 \sqrt{3}$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x^{2} - 27) = 0$ vraie.

$x = 0, 3 \sqrt{3}, - 3 \sqrt{3}$

Étape 7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 3 \sqrt{3}$

$- 3 \sqrt{3} < x < 0$

$0 < x < 3 \sqrt{3}$

$x > 3 \sqrt{3}$

Étape 8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 3 \sqrt{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 3 \sqrt{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 8.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 8)}^{3} - 27 \cdot - 8 < 0$

Étape 8.1.3

Le côté gauche $- 296$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 \sqrt{3} < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 \sqrt{3} < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 8.2.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 3)}^{3} - 27 \cdot - 3 < 0$

Étape 8.2.3

Le côté gauche $54$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 3 \sqrt{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 3 \sqrt{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 8.3.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

${(3)}^{3} - 27 \cdot 3 < 0$

Étape 8.3.3

Le côté gauche $- 54$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 8.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3 \sqrt{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3 \sqrt{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 8.4.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

${(8)}^{3} - 27 \cdot 8 < 0$

Étape 8.4.3

Le côté gauche $296$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 8.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 3 \sqrt{3}$ Vrai

$- 3 \sqrt{3} < x < 0$ Faux

$0 < x < 3 \sqrt{3}$ Vrai

$x > 3 \sqrt{3}$ Faux

$x < - 3 \sqrt{3}$ Vrai

$- 3 \sqrt{3} < x < 0$ Faux

$0 < x < 3 \sqrt{3}$ Vrai

$x > 3 \sqrt{3}$ Faux

Étape 9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 3 \sqrt{3}$ ou $0 < x < 3 \sqrt{3}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < - 3 \sqrt{3} or 0 < x < 3 \sqrt{3}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 3 \sqrt{3}) \cup (0, 3 \sqrt{3})$

Étape 11