Algèbre Exemples

\tan (θ) + \cot (θ) = \sec (θ) \csc (θ)

$\tan (θ) + \cot (θ) = \sec (θ) \csc (θ)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Réécrivez

\tan (θ)

$\tan (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \cot (θ) = \sec (θ) \csc (θ)

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \cot (θ) = \sec (θ) \csc (θ)$

Étape 1.1.2

Réécrivez

\cot (θ)

$\cot (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \sec (θ) \csc (θ)

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \sec (θ) \csc (θ)$

\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \sec (θ) \csc (θ)

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \sec (θ) \csc (θ)$

\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \sec (θ) \csc (θ)

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \sec (θ) \csc (θ)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

Simplifiez

\sec (θ) \csc (θ)

$\sec (θ) \csc (θ)$ .

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Étape 2.1.1

Réécrivez

\sec (θ)

$\sec (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \frac{1}{\cos (θ)} \csc (θ)

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \frac{1}{\cos (θ)} \csc (θ)$

Étape 2.1.2

Réécrivez

\csc (θ)

$\csc (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)}

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)}$

Étape 2.1.3

Multipliez

\frac{1}{\cos (θ)}

$\frac{1}{\cos (θ)}$ par

\frac{1}{\sin (θ)}

$\frac{1}{\sin (θ)}$ .

\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par

\cos (θ)

$\cos (θ)$ .

\cos (θ) (\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}

$\cos (θ) (\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 4

Appliquez la propriété distributive.

\cos (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}

$\cos (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de

\cos (θ)

$\cos (θ)$ .

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

\cos (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}

$\cos (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression.

\sin (θ) + \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}

$\sin (θ) + \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

\sin (θ) + \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}

$\sin (θ) + \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 6

Multipliez

\cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}

$\cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

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Étape 6.1

Associez

\cos (θ)

$\cos (θ)$ et

\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

\sin (θ) + \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}

$\sin (θ) + \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 6.2

Élevez

\cos (θ)

$\cos (θ)$ à la puissance

1

$1$ .

\sin (θ) + \frac{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}

$\sin (θ) + \frac{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 6.3

Élevez

\cos (θ)

$\cos (θ)$ à la puissance

1

$1$ .

\sin (θ) + \frac{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}

$\sin (θ) + \frac{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 6.4

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

\sin (θ) + \frac{{\cos (θ)}^{1 + 1}}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}

$\sin (θ) + \frac{{\cos (θ)}^{1 + 1}}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 6.5

Additionnez

1

$1$ et

1

$1$ .

\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de

\cos (θ)

$\cos (θ)$ .

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Étape 7.1

Factorisez

\cos (θ)

$\cos (θ)$ à partir de

\cos (θ) \sin (θ)

$\cos (θ) \sin (θ)$ .

\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) (\sin (θ))}

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) (\sin (θ))}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun.

\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 7.3

Réécrivez l’expression.

\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \frac{1}{\sin (θ)}

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \frac{1}{\sin (θ)}$

\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \frac{1}{\sin (θ)}

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \frac{1}{\sin (θ)}$

Étape 8

Soustrayez

\frac{1}{\sin (θ)}

$\frac{1}{\sin (θ)}$ des deux côtés de l’équation.

\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} - \frac{1}{\sin (θ)} = 0

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} - \frac{1}{\sin (θ)} = 0$

Étape 9

Simplifiez

\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} - \frac{1}{\sin (θ)}

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} - \frac{1}{\sin (θ)}$ .

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Étape 9.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ) - 1}{\sin (θ)} = 0

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ) - 1}{\sin (θ)} = 0$

Étape 9.2

Remettez dans l’ordre

\cos^{2} (θ)

$\cos^{2} (θ)$ et

- 1

$- 1$ .

\sin (θ) + \frac{- 1 + \cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = 0

$\sin (θ) + \frac{- 1 + \cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = 0$

Étape 9.3

Réécrivez

- 1

$- 1$ comme

- 1 (1)

$- 1 (1)$ .

\sin (θ) + \frac{- 1 (1) + \cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = 0

$\sin (θ) + \frac{- 1 (1) + \cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = 0$

Étape 9.4

Factorisez

- 1

$- 1$ à partir de

\cos^{2} (θ)

$\cos^{2} (θ)$ .

\sin (θ) + \frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (θ))}{\sin (θ)} = 0

$\sin (θ) + \frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (θ))}{\sin (θ)} = 0$

Étape 9.5

Factorisez

- 1

$- 1$ à partir de

- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (θ))

$- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (θ))$ .

\sin (θ) + \frac{- 1 (1 - \cos^{2} (θ))}{\sin (θ)} = 0

$\sin (θ) + \frac{- 1 (1 - \cos^{2} (θ))}{\sin (θ)} = 0$

Étape 9.6

Réécrivez

- 1 (1 - \cos^{2} (θ))

$- 1 (1 - \cos^{2} (θ))$ comme

- (1 - \cos^{2} (θ))

$- (1 - \cos^{2} (θ))$ .

\sin (θ) + \frac{- (1 - \cos^{2} (θ))}{\sin (θ)} = 0

$\sin (θ) + \frac{- (1 - \cos^{2} (θ))}{\sin (θ)} = 0$

Étape 9.7

Appliquez l’identité pythagoricienne.

\sin (θ) + \frac{- \sin^{2} (θ)}{\sin (θ)} = 0

$\sin (θ) + \frac{- \sin^{2} (θ)}{\sin (θ)} = 0$

Étape 9.8

Annulez le facteur commun à

\sin^{2} (θ)

$\sin^{2} (θ)$ et

\sin (θ)

$\sin (θ)$ .

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Étape 9.8.1

Factorisez

\sin (θ)

$\sin (θ)$ à partir de

- \sin^{2} (θ)

$- \sin^{2} (θ)$ .

\sin (θ) + \frac{\sin (θ) (- \sin (θ))}{\sin (θ)} = 0

$\sin (θ) + \frac{\sin (θ) (- \sin (θ))}{\sin (θ)} = 0$

Étape 9.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.8.2.1

Multipliez par

1

$1$ .

\sin (θ) + \frac{\sin (θ) (- \sin (θ))}{\sin (θ) \cdot 1} = 0

$\sin (θ) + \frac{\sin (θ) (- \sin (θ))}{\sin (θ) \cdot 1} = 0$

Étape 9.8.2.2

Annulez le facteur commun.

\sin (θ) + \frac{\sin (θ) (- \sin (θ))}{\sin (θ) \cdot 1} = 0

$\sin (θ) + \frac{\sin (θ) (- \sin (θ))}{\sin (θ) \cdot 1} = 0$

Étape 9.8.2.3

Réécrivez l’expression.

\sin (θ) + \frac{- \sin (θ)}{1} = 0

$\sin (θ) + \frac{- \sin (θ)}{1} = 0$

Étape 9.8.2.4

Divisez

- \sin (θ)

$- \sin (θ)$ par

1

$1$ .

\sin (θ) - \sin (θ) = 0

$\sin (θ) - \sin (θ) = 0$

\sin (θ) - \sin (θ) = 0

$\sin (θ) - \sin (θ) = 0$

\sin (θ) - \sin (θ) = 0

$\sin (θ) - \sin (θ) = 0$

Étape 9.9

Soustrayez

\sin (θ)

$\sin (θ)$ de

\sin (θ)

$\sin (θ)$ .

0 = 0

$0 = 0$

0 = 0

$0 = 0$

Étape 10

Comme

0 = 0

$0 = 0$ , l’équation sera toujours vraie.

Toujours vrai

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Toujours vrai

Notation d’intervalle :

(- \infty, \infty)

$(- \infty, \infty)$