Algèbre Exemples

$\tan (θ) + \cot (θ) = \sec (θ) \csc (θ)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $\tan (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \cot (θ) = \sec (θ) \csc (θ)$

Étape 1.1.2

Réécrivez $\cot (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \sec (θ) \csc (θ)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sec (θ) \csc (θ)$ .

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Étape 2.1.1

Réécrivez $\sec (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \frac{1}{\cos (θ)} \csc (θ)$

Étape 2.1.2

Réécrivez $\csc (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)}$

Étape 2.1.3

Multipliez $\frac{1}{\cos (θ)}$ par $\frac{1}{\sin (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) (\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 4

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $\cos (θ)$ .

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (θ) + \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 6

Multipliez $\cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

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Étape 6.1

Associez $\cos (θ)$ et $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 6.2

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 6.3

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (θ) + \frac{{\cos (θ)}^{1 + 1}}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $\cos (θ)$ .

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Étape 7.1

Factorisez $\cos (θ)$ à partir de $\cos (θ) \sin (θ)$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) (\sin (θ))}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 7.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \frac{1}{\sin (θ)}$

Étape 8

Soustrayez $\frac{1}{\sin (θ)}$ des deux côtés de l’équation.

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} - \frac{1}{\sin (θ)} = 0$

Étape 9

Simplifiez $\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} - \frac{1}{\sin (θ)}$ .

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Étape 9.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ) - 1}{\sin (θ)} = 0$

Étape 9.2

Remettez dans l’ordre $\cos^{2} (θ)$ et $- 1$ .

$\sin (θ) + \frac{- 1 + \cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = 0$

Étape 9.3

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\sin (θ) + \frac{- 1 (1) + \cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = 0$

Étape 9.4

Factorisez $- 1$ à partir de $\cos^{2} (θ)$ .

$\sin (θ) + \frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (θ))}{\sin (θ)} = 0$

Étape 9.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (θ))$ .

$\sin (θ) + \frac{- 1 (1 - \cos^{2} (θ))}{\sin (θ)} = 0$

Étape 9.6

Réécrivez $- 1 (1 - \cos^{2} (θ))$ comme $- (1 - \cos^{2} (θ))$ .

$\sin (θ) + \frac{- (1 - \cos^{2} (θ))}{\sin (θ)} = 0$

Étape 9.7

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\sin (θ) + \frac{- \sin^{2} (θ)}{\sin (θ)} = 0$

Étape 9.8

Annulez le facteur commun à $\sin^{2} (θ)$ et $\sin (θ)$ .

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Étape 9.8.1

Factorisez $\sin (θ)$ à partir de $- \sin^{2} (θ)$ .

$\sin (θ) + \frac{\sin (θ) (- \sin (θ))}{\sin (θ)} = 0$

Étape 9.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.8.2.1

Multipliez par $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\sin (θ) (- \sin (θ))}{\sin (θ) \cdot 1} = 0$

Étape 9.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (θ) + \frac{\sin (θ) (- \sin (θ))}{\sin (θ) \cdot 1} = 0$

Étape 9.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (θ) + \frac{- \sin (θ)}{1} = 0$

Étape 9.8.2.4

Divisez $- \sin (θ)$ par $1$ .

$\sin (θ) - \sin (θ) = 0$

Étape 9.9

Soustrayez $\sin (θ)$ de $\sin (θ)$ .

$0 = 0$

Étape 10

Comme $0 = 0$ , l’équation sera toujours vraie.

Toujours vrai

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Toujours vrai

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$