Algèbre Exemples

$4 x^{2} - 4 a^{2} x + (a^{4} - b^{4}) = 0$

Étape 1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2

Remplacez les valeurs $a = 4$ , $b = - 4 a^{2}$ et $c = a^{4} - b^{4}$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{4 a^{2} \pm \sqrt{{(- 4 a^{2})}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot (a^{4} - b^{4}))}}{2 \cdot 4}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{{(- 4 a^{2})}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot (a^{4} - b^{4}))}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.2

Laissez $u = 4 \cdot (a^{4} - b^{4})$ . Remplacez toutes les occurrences de $4 \cdot (a^{4} - b^{4})$ par $u$ .

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Étape 3.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $- 4 a^{2}$ .

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} {(a^{2})}^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.2.2

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{16 {(a^{2})}^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.2.3

Multipliez les exposants dans ${(a^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.1.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{16 a^{2 \cdot 2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{16 a^{4} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 4}$

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{16 a^{4} - 4 u}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.3

Factorisez $4$ à partir de $16 a^{4} - 4 u$ .

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Étape 3.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $16 a^{4}$ .

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{4 (4 a^{4}) - 4 u}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{4 (4 a^{4}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (4 a^{4}) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{4 (4 a^{4} - u)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 \cdot (a^{4} - b^{4})$ .

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{4 (4 a^{4} - (4 \cdot (a^{4} - b^{4})))}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.5

Simplifiez

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Étape 3.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{4 (4 a^{4} - (4 a^{4} + 4 (- b^{4})))}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{4 (4 a^{4} - (4 a^{4} - 4 b^{4}))}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{4 (4 a^{4} - (4 a^{4}) - (- 4 b^{4}))}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.5.1.4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{4 (4 a^{4} - 4 a^{4} - (- 4 b^{4}))}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.5.1.5

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{4 (4 a^{4} - 4 a^{4} + 4 b^{4})}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.5.2

Soustrayez $4 a^{4}$ de $4 a^{4}$ .

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{4 (0 + 4 b^{4})}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.5.3

Additionnez $0$ et $4 b^{4}$ .

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{4 (4 b^{4})}}{2 \cdot 4}$

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{4 \cdot (4 b^{4})}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.6

Multipliez $4$ par $4$ .

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{16 b^{4}}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.7

Réécrivez $16 b^{4}$ comme ${(4 b^{2})}^{2}$ .

$x = \frac{4 a^{2} \pm \sqrt{{(4 b^{2})}^{2}}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{4 a^{2} \pm 4 b^{2}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{4 a^{2} \pm 4 b^{2}}{8}$

Étape 3.3

Simplifiez $\frac{4 a^{2} \pm 4 b^{2}}{8}$ .

$x = \frac{a^{2} \pm b^{2}}{2}$

Étape 4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{a^{2} + b^{2}}{2}$

$x = \frac{(a + b) (a - b)}{2}$