Algèbre Exemples

$5 x^{2} - 25 x < x - 5$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 1.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’inégalité.

$5 x^{2} - 25 x - x < - 5$

Étape 1.2

Soustrayez $x$ de $- 25 x$ .

$5 x^{2} - 26 x < - 5$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$5 x^{2} - 26 x = - 5$

Étape 3

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x^{2} - 26 x + 5 = 0$

Étape 4

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 5 \cdot 5 = 25$ et dont la somme est $b = - 26$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $- 26$ à partir de $- 26 x$ .

$5 x^{2} - 26 x + 5 = 0$

Étape 4.1.2

Réécrivez $- 26$ comme $- 1$ plus $- 25$

$5 x^{2} + (- 1 - 25) x + 5 = 0$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 x^{2} - 1 x - 25 x + 5 = 0$

Étape 4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(5 x^{2} - 1 x) - 25 x + 5 = 0$

Étape 4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (5 x - 1) - 5 (5 x - 1) = 0$

Étape 4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $5 x - 1$ .

$(5 x - 1) (x - 5) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$5 x - 1 = 0$

$x - 5 = 0$

Étape 6

Définissez $5 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $5 x - 1$ égal à $0$ .

$5 x - 1 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $5 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x = 1$

Étape 6.2.2

Divisez chaque terme dans $5 x = 1$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x = 1$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Étape 6.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{5}$

Étape 7

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 7.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(5 x - 1) (x - 5) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{5}, 5$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < \frac{1}{5}$

$\frac{1}{5} < x < 5$

$x > 5$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{1}{5}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{1}{5}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$5 {(0)}^{2} - 25 \cdot 0 < (0) - 5$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $0$ n’est pas inférieur au côté droit $- 5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{5} < x < 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{5} < x < 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$5 {(3)}^{2} - 25 \cdot 3 < (3) - 5$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $- 30$ est inférieur au côté droit $- 2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$5 {(8)}^{2} - 25 \cdot 8 < (8) - 5$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $120$ n’est pas inférieur au côté droit $3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < \frac{1}{5}$ Faux

$\frac{1}{5} < x < 5$ Vrai

$x > 5$ Faux

$x < \frac{1}{5}$ Faux

$\frac{1}{5} < x < 5$ Vrai

$x > 5$ Faux

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{1}{5} < x < 5$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$\frac{1}{5} < x < 5$

Notation d’intervalle :

$(\frac{1}{5}, 5)$

Étape 13