Algèbre Exemples

$\sin (x) > - 1$

Étape 1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x > \arcsin (- 1)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\arcsin (- 1)$ est $- \frac{π}{2}$ .

$x > - \frac{π}{2}$

Étape 3

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Étape 4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 4.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Étape 4.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{2}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 6.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{2}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Étape 6.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 6.3

Associez les fractions.

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Étape 6.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Étape 6.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Étape 6.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 7

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Consolidez les réponses.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$\sin (8) > - 1$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $0.98935824$ est supérieur au côté droit $- 1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.2

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ Vrai

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{7 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12