Algèbre Exemples

$\log_{9} (x - 4) + \log_{9} (x + 1) = \log_{9} (x + 5) + \log_{9} (x - 6)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{9} ((x - 4) (x + 1)) = \log_{9} (x + 5) + \log_{9} (x - 6)$

Étape 1.2

Développez $(x - 4) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{9} (x (x + 1) - 4 (x + 1)) = \log_{9} (x + 5) + \log_{9} (x - 6)$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{9} (x \cdot x + x \cdot 1 - 4 (x + 1)) = \log_{9} (x + 5) + \log_{9} (x - 6)$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{9} (x \cdot x + x \cdot 1 - 4 x - 4 \cdot 1) = \log_{9} (x + 5) + \log_{9} (x - 6)$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log_{9} (x^{2} + x \cdot 1 - 4 x - 4 \cdot 1) = \log_{9} (x + 5) + \log_{9} (x - 6)$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\log_{9} (x^{2} + x - 4 x - 4 \cdot 1) = \log_{9} (x + 5) + \log_{9} (x - 6)$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$\log_{9} (x^{2} + x - 4 x - 4) = \log_{9} (x + 5) + \log_{9} (x - 6)$

Étape 1.3.2

Soustrayez $4 x$ de $x$ .

$\log_{9} (x^{2} - 3 x - 4) = \log_{9} (x + 5) + \log_{9} (x - 6)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{9} (x^{2} - 3 x - 4) = \log_{9} ((x + 5) (x - 6))$

Étape 2.2

Développez $(x + 5) (x - 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{9} (x^{2} - 3 x - 4) = \log_{9} (x (x - 6) + 5 (x - 6))$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{9} (x^{2} - 3 x - 4) = \log_{9} (x \cdot x + x \cdot - 6 + 5 (x - 6))$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{9} (x^{2} - 3 x - 4) = \log_{9} (x \cdot x + x \cdot - 6 + 5 x + 5 \cdot - 6)$

Étape 2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log_{9} (x^{2} - 3 x - 4) = \log_{9} (x^{2} + x \cdot - 6 + 5 x + 5 \cdot - 6)$

Étape 2.3.1.2

Déplacez $- 6$ à gauche de $x$ .

$\log_{9} (x^{2} - 3 x - 4) = \log_{9} (x^{2} - 6 \cdot x + 5 x + 5 \cdot - 6)$

Étape 2.3.1.3

Multipliez $5$ par $- 6$ .

$\log_{9} (x^{2} - 3 x - 4) = \log_{9} (x^{2} - 6 x + 5 x - 30)$

Étape 2.3.2

Additionnez $- 6 x$ et $5 x$ .

$\log_{9} (x^{2} - 3 x - 4) = \log_{9} (x^{2} - x - 30)$

Étape 3

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$x^{2} - 3 x - 4 = x^{2} - x - 30$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 3 x - 4 - x^{2} = - x - 30$

Étape 4.1.2

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 3 x - 4 - x^{2} + x = - 30$

Étape 4.1.3

Associez les termes opposés dans $x^{2} - 3 x - 4 - x^{2} + x$ .

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Étape 4.1.3.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- 3 x - 4 + 0 + x = - 30$

Étape 4.1.3.2

Additionnez $- 3 x - 4$ et $0$ .

$- 3 x - 4 + x = - 30$

Étape 4.1.4

Additionnez $- 3 x$ et $x$ .

$- 2 x - 4 = - 30$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 x = - 30 + 4$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 30$ et $4$ .

$- 2 x = - 26$

Étape 4.3

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 26$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 4.3.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 26$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 26}{- 2}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 26}{- 2}$

Étape 4.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 26}{- 2}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.3.1

Divisez $- 26$ par $- 2$ .

$x = 13$