Algèbre Exemples

$f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ comme une équation.

$y = x + 2 \sqrt{x - 1}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = y + 2 \sqrt{y - 1}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $y + 2 \sqrt{y - 1} = x$ .

$y + 2 \sqrt{y - 1} = x$

Étape 3.2

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sqrt{y - 1} = x - y$

Étape 3.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 \sqrt{y - 1})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Étape 3.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y - 1}$ comme ${(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez ${(2 {(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 {(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - y)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 {(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - y)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 {(y - 1)}^{1} = {(x - y)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.4

Simplifiez

$4 (y - 1) = {(x - y)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$4 y + 4 \cdot - 1 = {(x - y)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$4 y - 4 = {(x - y)}^{2}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Simplifiez ${(x - y)}^{2}$ .

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Étape 3.4.3.1.1

Réécrivez ${(x - y)}^{2}$ comme $(x - y) (x - y)$ .

$4 y - 4 = (x - y) (x - y)$

Étape 3.4.3.1.2

Développez $(x - y) (x - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.4.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 y - 4 = x (x - y) - y (x - y)$

Étape 3.4.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 y - 4 = x \cdot x + x (- y) - y (x - y)$

Étape 3.4.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 y - 4 = x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)$

Étape 3.4.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.4.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 y - 4 = x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)$

Étape 3.4.3.1.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x - y (- y)$

Étape 3.4.3.1.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y$

Étape 3.4.3.1.3.1.4

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.3.1.3.1.4.1

Déplacez $y$ .

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)$

Étape 3.4.3.1.3.1.4.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}$

Étape 3.4.3.1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}$

Étape 3.4.3.1.3.1.6

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x + y^{2}$

Étape 3.4.3.1.3.2

Soustrayez $y x$ de $- x y$ .

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Étape 3.4.3.1.3.2.1

Déplacez $y$ .

$4 y - 4 = x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}$

Étape 3.4.3.1.3.2.2

Soustrayez $x y$ de $- x y$ .

$4 y - 4 = x^{2} - 2 x y + y^{2}$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Comme $y$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} = 4 y - 4$

Étape 3.5.2

Soustrayez $4 y$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} - 4 y = - 4$

Étape 3.5.3

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} - 4 y + 4 = 0$

Étape 3.5.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.5.5

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2 x - 4$ et $c = x^{2} + 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- (- 2 x - 4) \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6

Simplifiez

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Étape 3.5.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- (- 2 x) + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.4

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.5

Laissez $u = 1 \cdot (x^{2} + 4)$ . Remplacez toutes les occurrences de $1 \cdot (x^{2} + 4)$ par $u$ .

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Étape 3.5.6.1.5.1

Réécrivez ${(- 2 x - 4)}^{2}$ comme $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{(- 2 x - 4) (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.5.2

Développez $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.5.6.1.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x - 4) - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.5.6.1.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.6.1.5.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x \cdot x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.5.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.6.1.5.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.5.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x^{2}) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.5.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.5.3.1.4

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.5.3.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.5.3.1.6

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.5.3.2

Additionnez $8 x$ et $8 x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.6

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u$ .

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Étape 3.5.6.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.6.2

Factorisez $4$ à partir de $16 x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.6.3

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.6.4

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.6.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{2}) + 4 (4 x)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.6.6

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.6.7

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - u)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 \cdot (x^{2} + 4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (1 \cdot (x^{2} + 4)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.8

Simplifiez

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Étape 3.5.6.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.6.1.8.1.1

Multipliez $x^{2} + 4$ par $1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.8.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.8.1.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.8.2

Associez les termes opposés dans $x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4$ .

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Étape 3.5.6.1.8.2.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 + 0 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.8.2.2

Additionnez $4 x + 4$ et $0$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.8.2.3

Soustrayez $4$ de $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 0)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.8.2.4

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x)}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 \cdot (4 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.9

Multipliez $4$ par $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{16 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.10

Réécrivez $16 x$ comme ${(2^{2})}^{2} x$ .

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Étape 3.5.6.1.10.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.10.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.11

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2 x + 4 \pm 2^{2} \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.12

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2}$

Étape 3.5.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 3.5.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- (- 2 x) + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.4

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.5

Laissez $u = 1 \cdot (x^{2} + 4)$ . Remplacez toutes les occurrences de $1 \cdot (x^{2} + 4)$ par $u$ .

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Étape 3.5.7.1.5.1

Réécrivez ${(- 2 x - 4)}^{2}$ comme $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{(- 2 x - 4) (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.5.2

Développez $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.5.7.1.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x - 4) - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.5.7.1.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.7.1.5.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x \cdot x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.5.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.7.1.5.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.5.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x^{2}) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.5.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.5.3.1.4

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.5.3.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.5.3.1.6

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.5.3.2

Additionnez $8 x$ et $8 x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.6

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u$ .

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Étape 3.5.7.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.6.2

Factorisez $4$ à partir de $16 x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.6.3

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.6.4

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.6.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{2}) + 4 (4 x)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.6.6

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.6.7

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - u)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 \cdot (x^{2} + 4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (1 \cdot (x^{2} + 4)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.8

Simplifiez

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Étape 3.5.7.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.7.1.8.1.1

Multipliez $x^{2} + 4$ par $1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.8.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.8.1.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.8.2

Associez les termes opposés dans $x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4$ .

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Étape 3.5.7.1.8.2.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 + 0 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.8.2.2

Additionnez $4 x + 4$ et $0$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.8.2.3

Soustrayez $4$ de $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 0)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.8.2.4

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x)}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 \cdot (4 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.9

Multipliez $4$ par $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{16 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.10

Réécrivez $16 x$ comme ${(2^{2})}^{2} x$ .

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Étape 3.5.7.1.10.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.10.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.11

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2 x + 4 \pm 2^{2} \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.12

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2}$

Étape 3.5.7.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{2 x + 4 + 4 \sqrt{x}}{2}$

Étape 3.5.7.4

Annulez le facteur commun à $2 x + 4 + 4 \sqrt{x}$ et $2$ .

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Étape 3.5.7.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$y = \frac{2 (x) + 4 + 4 \sqrt{x}}{2}$

Étape 3.5.7.4.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y = \frac{2 (x) + 2 \cdot 2 + 4 \sqrt{x}}{2}$

Étape 3.5.7.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (2)$ .

$y = \frac{2 (x + 2) + 4 \sqrt{x}}{2}$

Étape 3.5.7.4.4

Factorisez $2$ à partir de $4 \sqrt{x}$ .

$y = \frac{2 (x + 2) + 2 (2 \sqrt{x})}{2}$

Étape 3.5.7.4.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x + 2) + 2 (2 \sqrt{x})$ .

$y = \frac{2 (x + 2 + 2 \sqrt{x})}{2}$

Étape 3.5.7.4.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.7.4.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y = \frac{2 (x + 2 + 2 \sqrt{x})}{2 (1)}$

Étape 3.5.7.4.6.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 (x + 2 + 2 \sqrt{x})}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.4.6.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x + 2 + 2 \sqrt{x}}{1}$

Étape 3.5.7.4.6.4

Divisez $x + 2 + 2 \sqrt{x}$ par $1$ .

$y = x + 2 + 2 \sqrt{x}$

Étape 3.5.8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.5.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.8.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- (- 2 x) + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.8.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.8.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.8.1.4

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.8.1.5

Laissez $u = 1 \cdot (x^{2} + 4)$ . Remplacez toutes les occurrences de $1 \cdot (x^{2} + 4)$ par $u$ .

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Étape 3.5.8.1.5.1

Réécrivez ${(- 2 x - 4)}^{2}$ comme $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{(- 2 x - 4) (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.8.1.5.2

Développez $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.5.8.1.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x - 4) - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.8.1.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.8.1.5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.8.1.5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.5.8.1.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.8.1.5.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x \cdot x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.8.1.5.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.8.1.5.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.8.1.5.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x^{2}) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.8.1.5.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.8.1.5.3.1.4

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.8.1.5.3.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.8.1.5.3.1.6

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.8.1.5.3.2

Additionnez $8 x$ et $8 x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.8.1.6

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u$ .

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Étape 3.5.8.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.8.1.6.2

Factorisez $4$ à partir de $16 x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.8.1.6.3

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.8.1.6.4

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.8.1.6.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{2}) + 4 (4 x)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.8.1.6.6

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.8.1.6.7

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - u)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.8.1.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 \cdot (x^{2} + 4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (1 \cdot (x^{2} + 4)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.8.1.8

Simplifiez

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Étape 3.5.8.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.8.1.8.1.1

Multipliez $x^{2} + 4$ par $1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.8.1.8.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.8.1.8.1.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.8.1.8.2

Associez les termes opposés dans $x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4$ .

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Étape 3.5.8.1.8.2.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 + 0 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.8.1.8.2.2

Additionnez $4 x + 4$ et $0$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.8.1.8.2.3

Soustrayez $4$ de $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 0)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.8.1.8.2.4

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x)}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 \cdot (4 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.8.1.9

Multipliez $4$ par $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{16 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.8.1.10

Réécrivez $16 x$ comme ${(2^{2})}^{2} x$ .

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Étape 3.5.8.1.10.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.8.1.10.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.8.1.11

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2 x + 4 \pm 2^{2} \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.8.1.12

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.8.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2}$

Étape 3.5.8.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{2 x + 4 - 4 \sqrt{x}}{2}$

Étape 3.5.8.4

Annulez le facteur commun à $2 x + 4 - 4 \sqrt{x}$ et $2$ .

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Étape 3.5.8.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$y = \frac{2 (x) + 4 - 4 \sqrt{x}}{2}$

Étape 3.5.8.4.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y = \frac{2 (x) + 2 \cdot 2 - 4 \sqrt{x}}{2}$

Étape 3.5.8.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (2)$ .

$y = \frac{2 (x + 2) - 4 \sqrt{x}}{2}$

Étape 3.5.8.4.4

Factorisez $2$ à partir de $- 4 \sqrt{x}$ .

$y = \frac{2 (x + 2) + 2 (- 2 \sqrt{x})}{2}$

Étape 3.5.8.4.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x + 2) + 2 (- 2 \sqrt{x})$ .

$y = \frac{2 (x + 2 - 2 \sqrt{x})}{2}$

Étape 3.5.8.4.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.8.4.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y = \frac{2 (x + 2 - 2 \sqrt{x})}{2 (1)}$

Étape 3.5.8.4.6.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 (x + 2 - 2 \sqrt{x})}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.8.4.6.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x + 2 - 2 \sqrt{x}}{1}$

Étape 3.5.8.4.6.4

Divisez $x + 2 - 2 \sqrt{x}$ par $1$ .

$y = x + 2 - 2 \sqrt{x}$

Étape 3.5.9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = x + 2 + 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 - 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 + 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 - 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 + 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 - 2 \sqrt{x}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$ est l’inverse de $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ et $f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[1, \infty)$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $x + 2 + 2 \sqrt{x}$ .

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Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x \geq 0$

Étape 5.3.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[0, \infty)$

Étape 5.4

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$ n’est pas égal à la plage de $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ , $f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$ n’est pas un inverse de $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ .

Il n’y a pas d’inverse

Étape 6