Algèbre Exemples

$x + 2 = 4 \sqrt{x - 2}$

Étape 1

Comme le radical est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$4 \sqrt{x - 2} = x + 2$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(4 \sqrt{x - 2})}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 2}$ comme ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(4 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${(4 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $4 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4^{2} {({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$16 {({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Étape 3.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Étape 3.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$16 {(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Étape 3.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$16 {(x - 2)}^{1} = {(x + 2)}^{2}$

Étape 3.2.1.4

Simplifiez

$16 (x - 2) = {(x + 2)}^{2}$

Étape 3.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$16 x + 16 \cdot - 2 = {(x + 2)}^{2}$

Étape 3.2.1.6

Multipliez $16$ par $- 2$ .

$16 x - 32 = {(x + 2)}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(x + 2)}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(x + 2)}^{2}$ comme $(x + 2) (x + 2)$ .

$16 x - 32 = (x + 2) (x + 2)$

Étape 3.3.1.2

Développez $(x + 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$16 x - 32 = x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$16 x - 32 = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$16 x - 32 = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$16 x - 32 = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Étape 3.3.1.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$16 x - 32 = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Étape 3.3.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$16 x - 32 = x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Étape 3.3.1.3.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$16 x - 32 = x^{2} + 4 x + 4$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$x^{2} + 4 x + 4 = 16 x - 32$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $16 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 4 x + 4 - 16 x = - 32$

Étape 4.2.2

Soustrayez $16 x$ de $4 x$ .

$x^{2} - 12 x + 4 = - 32$

Étape 4.3

Ajoutez $32$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 12 x + 4 + 32 = 0$

Étape 4.4

Additionnez $4$ et $32$ .

$x^{2} - 12 x + 36 = 0$

Étape 4.5

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.5.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$x^{2} - 12 x + 6^{2} = 0$

Étape 4.5.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$12 x = 2 \cdot x \cdot 6$

Étape 4.5.3

Réécrivez le polynôme.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^{2} = 0$

Étape 4.5.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 6$ .

${(x - 6)}^{2} = 0$

Étape 4.6

Définissez le $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 4.7

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$