Algèbre Exemples

$x^{2} - 10 x - 81 - y^{2} - 18 y + 25$

Étape 1

Regroupez les termes.

$x^{2} - 10 x + 25 - 81 - y^{2} - 18 y$

Étape 2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x^{2} - 10 x + 5^{2} - 81 - y^{2} - 18 y$

Étape 2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Étape 2.3

Réécrivez le polynôme.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2} - 81 - y^{2} - 18 y$

Étape 2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 5$ .

${(x - 5)}^{2} - 81 - y^{2} - 18 y$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

${(x - 5)}^{2} - y^{2} - 18 y - 81$

Étape 3.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 81 = 81$ et dont la somme est $b = - 18$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $- 18$ à partir de $- 18 y$ .

${(x - 5)}^{2} - y^{2} - 18 (y) - 81$

Étape 3.2.2

Réécrivez $- 18$ comme $- 9$ plus $- 9$

${(x - 5)}^{2} - y^{2} + (- 9 - 9) y - 81$

Étape 3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

${(x - 5)}^{2} - y^{2} - 9 y - 9 y - 81$

Étape 3.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

${(x - 5)}^{2} + (- y^{2} - 9 y) - 9 y - 81$

Étape 3.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

${(x - 5)}^{2} + y (- y - 9) + 9 (- y - 9)$

Étape 3.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- y - 9$ .

${(x - 5)}^{2} + (- y - 9) (y + 9)$

Étape 4

Réécrivez $(y + 9) (y + 9)$ comme ${(y + 9)}^{2}$ .

${(x - 5)}^{2} - {(y + 9)}^{2}$

Étape 5

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x - 5$ et $b = y + 9$ .

$(x - 5 + y + 9) (x - 5 - (y + 9))$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Additionnez $- 5$ et $9$ .

$(x + y + 4) (x - 5 - (y + 9))$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x + y + 4) (x - 5 - y - 1 \cdot 9)$

Étape 6.3

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$(x + y + 4) (x - 5 - y - 9)$

Étape 6.4

Soustrayez $9$ de $- 5$ .

$(x + y + 4) (x - y - 14)$