Algèbre Exemples

$x + 1 < \frac{5 x - 3}{x - 3}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{5 x - 3}{x - 3}$ des deux côtés de l’inégalité.

$x + 1 - \frac{5 x - 3}{x - 3} < 0$

Étape 2

Simplifiez $x + 1 - \frac{5 x - 3}{x - 3}$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x (x - 3)}{x - 3} - \frac{5 x - 3}{x - 3} + 1 < 0$

Étape 2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (x - 3) - (5 x - 3)}{x - 3} + 1 < 0$

Étape 2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 - (5 x - 3)}{x - 3} + 1 < 0$

Étape 2.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 3 - (5 x - 3)}{x - 3} + 1 < 0$

Étape 2.3.3

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 \cdot x - (5 x - 3)}{x - 3} + 1 < 0$

Étape 2.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 3 x - (5 x) - - 3}{x - 3} + 1 < 0$

Étape 2.3.5

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 5 x - - 3}{x - 3} + 1 < 0$

Étape 2.3.6

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 5 x + 3}{x - 3} + 1 < 0$

Étape 2.3.7

Soustrayez $5 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{x^{2} - 8 x + 3}{x - 3} + 1 < 0$

Étape 2.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{x^{2} - 8 x + 3}{x - 3} + \frac{x - 3}{x - 3} < 0$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} - 8 x + 3 + x - 3}{x - 3} < 0$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Additionnez $- 8 x$ et $x$ .

$\frac{x^{2} - 7 x + 3 - 3}{x - 3} < 0$

Étape 2.6.2

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{x^{2} - 7 x + 0}{x - 3} < 0$

Étape 2.6.3

Additionnez $x^{2} - 7 x$ et $0$ .

$\frac{x^{2} - 7 x}{x - 3} < 0$

Étape 2.6.4

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 7 x$ .

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Étape 2.6.4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 7 x}{x - 3} < 0$

Étape 2.6.4.2

Factorisez $x$ à partir de $- 7 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 7}{x - 3} < 0$

Étape 2.6.4.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 7$ .

$\frac{x (x - 7)}{x - 3} < 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x = 0$

$x - 7 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 4

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 5

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 6

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = 7$

$x = 3$

Étape 7

Consolidez les solutions.

$x = 0, 7, 3$

Étape 8

Déterminez le domaine de $\frac{x (x - 7)}{x - 3}$ .

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Étape 8.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x (x - 7)}{x - 3}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 3 = 0$

Étape 8.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 8.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 3$

$3 < x < 7$

$x > 7$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$(- 2) + 1 < \frac{5 (- 2) - 3}{(- 2) - 3}$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $- 1$ est inférieur au côté droit $2.6$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$(2) + 1 < \frac{5 (2) - 3}{(2) - 3}$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $3$ n’est pas inférieur au côté droit $- 7$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $3 < x < 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $3 < x < 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 5$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

$(5) + 1 < \frac{5 (5) - 3}{(5) - 3}$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $6$ est inférieur au côté droit $11$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 10$

Étape 10.4.2

Remplacez $x$ par $10$ dans l’inégalité d’origine.

$(10) + 1 < \frac{5 (10) - 3}{(10) - 3}$

Étape 10.4.3

Le côté gauche $11$ n’est pas inférieur au côté droit $6.\overline{714285}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Vrai

$0 < x < 3$ Faux

$3 < x < 7$ Vrai

$x > 7$ Faux

$x < 0$ Vrai

$0 < x < 3$ Faux

$3 < x < 7$ Vrai

$x > 7$ Faux

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < 0$ ou $3 < x < 7$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < 0 or 3 < x < 7$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (3, 7)$

Étape 13