Algèbre Exemples

$\cos (2 u) = \cos^{2} (u) - \sin^{2} (u)$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Soustrayez $\cos^{2} (u)$ des deux côtés de l’équation.

$\cos (2 u) - \cos^{2} (u) = - \sin^{2} (u)$

Étape 1.2

Ajoutez $\sin^{2} (u)$ aux deux côtés de l’équation.

$\cos (2 u) - \cos^{2} (u) + \sin^{2} (u) = 0$

Étape 2

Remplacez $\sin^{2} (u)$ par $1 - \cos^{2} (u)$ .

$\cos (2 u) - \cos^{2} (u) (1 - \cos^{2} (u)) = 0$

Étape 3

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) (1 - \cos^{2} (u)) = 0$

Étape 4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) (1 - \cos^{2} (u)) = - 1$

Étape 5

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$- 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = - 1$

Étape 6

Résolvez l’équation pour $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Étape 6.2

Remplacez le $- 2 \sin^{2} (u)$ par $- 2 (1 - \cos^{2} (u))$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$- 2 (1 - \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Étape 6.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 \cdot 1 - 2 (- \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Étape 6.3.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 - 2 (- \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Étape 6.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$- 2 + 2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Étape 6.4

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) - 1 = 0$

Étape 6.5

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1

Simplifiez $2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1.1

Déplacez $- 1$ .

$2 \cos^{2} (u) - 1 - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

Étape 6.5.1.2

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$\cos (2 u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

Étape 6.6

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

Étape 6.7

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = - 1$

Étape 6.8

Résolvez l’équation pour $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Étape 6.8.2

Remplacez le $- 2 \sin^{2} (u)$ par $- 2 (1 - \cos^{2} (u))$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$- 2 (1 - \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Étape 6.8.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 \cdot 1 - 2 (- \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Étape 6.8.3.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 - 2 (- \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Étape 6.8.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$- 2 + 2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Étape 6.8.4

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) - 1 = 0$

Étape 6.8.5

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.5.1

Simplifiez $2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.5.1.1

Déplacez $- 1$ .

$2 \cos^{2} (u) - 1 - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

Étape 6.8.5.1.2

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$\cos (2 u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

Étape 6.8.6

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

Étape 6.8.7

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = - 1$

Étape 6.8.8

Résolvez l’équation pour $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Étape 6.8.8.2

Remplacez le $- 2 \sin^{2} (u)$ par $- 2 (1 - \cos^{2} (u))$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$- 2 (1 - \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Étape 6.8.8.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 \cdot 1 - 2 (- \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Étape 6.8.8.3.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 - 2 (- \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Étape 6.8.8.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$- 2 + 2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Étape 6.8.8.4

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) - 1 = 0$

Étape 6.8.8.5

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.5.1

Simplifiez $2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.5.1.1

Déplacez $- 1$ .

$2 \cos^{2} (u) - 1 - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

Étape 6.8.8.5.1.2

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$\cos (2 u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

Étape 6.8.8.6

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

Étape 6.8.8.7

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = - 1$

Étape 6.8.8.8

Résolvez l’équation pour $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.8.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Étape 6.8.8.8.2

Remplacez le $- 2 \sin^{2} (u)$ par $- 2 (1 - \cos^{2} (u))$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$- 2 (1 - \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Étape 6.8.8.8.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.8.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 \cdot 1 - 2 (- \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Étape 6.8.8.8.3.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 - 2 (- \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Étape 6.8.8.8.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$- 2 + 2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

Étape 6.8.8.8.4

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) - 1 = 0$

Étape 6.8.8.8.5

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.8.5.1

Simplifiez $2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.8.5.1.1

Déplacez $- 1$ .

$2 \cos^{2} (u) - 1 - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

Étape 6.8.8.8.5.1.2

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$\cos (2 u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

Étape 6.8.8.8.6

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (u) - \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

Étape 6.8.8.8.7

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.8.7.1

Simplifiez $\cos^{2} (u) - \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.8.7.1.1

Déplacez $- \cos^{2} (u) \sin^{2} (u)$ .

$\cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) - \sin^{2} (u) = 0$

Étape 6.8.8.8.7.1.2

Multipliez par $1$ .

$\cos^{2} (u) \cdot 1 - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) - \sin^{2} (u) = 0$

Étape 6.8.8.8.7.1.3

Simplifiez en factorisant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.8.7.1.3.1

Factorisez $\cos^{2} (u)$ à partir de $- \cos^{2} (u) \sin^{2} (u)$ .

$\cos^{2} (u) \cdot 1 + \cos^{2} (u) (- 1 \sin^{2} (u)) - \sin^{2} (u) = 0$

Étape 6.8.8.8.7.1.3.2

Factorisez $\cos^{2} (u)$ à partir de $\cos^{2} (u) \cdot 1 + \cos^{2} (u) (- 1 \sin^{2} (u))$ .

$\cos^{2} (u) \cdot (1 - 1 \sin^{2} (u)) - \sin^{2} (u) = 0$

Étape 6.8.8.8.7.1.3.3

Réécrivez $- 1 \sin^{2} (u)$ comme $- \sin^{2} (u)$ .

$\cos^{2} (u) \cdot (1 - \sin^{2} (u)) - \sin^{2} (u) = 0$

Étape 6.8.8.8.7.1.4

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\cos^{2} (u) \cdot \cos^{2} (u) - \sin^{2} (u) = 0$

Étape 6.8.8.8.7.1.5

Réécrivez $\cos^{2} (u) \cdot \cos^{2} (u)$ comme ${(\cos (u) \cos (u))}^{2}$ .

${(\cos (u) \cos (u))}^{2} - \sin^{2} (u) = 0$

Étape 6.8.8.8.7.1.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \cos (u) \cos (u)$ et $b = \sin (u)$ .

$(\cos (u) \cos (u) + \sin (u)) (\cos (u) \cos (u) - \sin (u)) = 0$

Étape 6.8.8.8.7.1.7

Multipliez $\cos (u) \cos (u)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.8.7.1.7.1

Élevez $\cos (u)$ à la puissance $1$ .

$(\cos^{1} (u) \cos (u) + \sin (u)) (\cos (u) \cos (u) - \sin (u)) = 0$

Étape 6.8.8.8.7.1.7.2

Élevez $\cos (u)$ à la puissance $1$ .

$(\cos^{1} (u) \cos^{1} (u) + \sin (u)) (\cos (u) \cos (u) - \sin (u)) = 0$

Étape 6.8.8.8.7.1.7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$({\cos (u)}^{1 + 1} + \sin (u)) (\cos (u) \cos (u) - \sin (u)) = 0$

Étape 6.8.8.8.7.1.7.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$(\cos^{2} (u) + \sin (u)) (\cos (u) \cos (u) - \sin (u)) = 0$

Étape 6.8.8.8.7.1.8

Multipliez $\cos (u) \cos (u)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.8.7.1.8.1

Élevez $\cos (u)$ à la puissance $1$ .

$(\cos^{2} (u) + \sin (u)) (\cos^{1} (u) \cos (u) - \sin (u)) = 0$

Étape 6.8.8.8.7.1.8.2

Élevez $\cos (u)$ à la puissance $1$ .

$(\cos^{2} (u) + \sin (u)) (\cos^{1} (u) \cos^{1} (u) - \sin (u)) = 0$

Étape 6.8.8.8.7.1.8.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(\cos^{2} (u) + \sin (u)) ({\cos (u)}^{1 + 1} - \sin (u)) = 0$

Étape 6.8.8.8.7.1.8.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$(\cos^{2} (u) + \sin (u)) (\cos^{2} (u) - \sin (u)) = 0$

Étape 6.8.8.8.7.1.9

Développez $(\cos^{2} (u) + \sin (u)) (\cos^{2} (u) - \sin (u))$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.8.7.1.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cos^{2} (u) (\cos^{2} (u) - \sin (u)) + \sin (u) (\cos^{2} (u) - \sin (u)) = 0$

Étape 6.8.8.8.7.1.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\cos^{2} (u) \cos^{2} (u) + \cos^{2} (u) (- \sin (u)) + \sin (u) (\cos^{2} (u) - \sin (u)) = 0$

Étape 6.8.8.8.7.1.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$\cos^{2} (u) \cos^{2} (u) + \cos^{2} (u) (- \sin (u)) + \sin (u) \cos^{2} (u) + \sin (u) (- \sin (u)) = 0$

Étape 6.8.8.8.7.1.10

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.8.7.1.10.1

Associez les termes opposés dans $\cos^{2} (u) \cos^{2} (u) + \cos^{2} (u) (- \sin (u)) + \sin (u) \cos^{2} (u) + \sin (u) (- \sin (u))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.8.7.1.10.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\cos^{2} (u) (- \sin (u))$ et $\sin (u) \cos^{2} (u)$ .

$\cos^{2} (u) \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin (u) + \cos^{2} (u) \sin (u) + \sin (u) (- \sin (u)) = 0$

Étape 6.8.8.8.7.1.10.1.2

Additionnez $- \cos^{2} (u) \sin (u)$ et $\cos^{2} (u) \sin (u)$ .

$\cos^{2} (u) \cos^{2} (u) + 0 + \sin (u) (- \sin (u)) = 0$

Étape 6.8.8.8.7.1.10.1.3

Additionnez $\cos^{2} (u) \cos^{2} (u)$ et $0$ .

$\cos^{2} (u) \cos^{2} (u) + \sin (u) (- \sin (u)) = 0$

Étape 6.8.8.8.7.1.10.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.8.7.1.10.2.1

Multipliez $\cos^{2} (u)$ par $\cos^{2} (u)$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.8.7.1.10.2.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\cos (u)}^{2 + 2} + \sin (u) (- \sin (u)) = 0$

Étape 6.8.8.8.7.1.10.2.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\cos^{4} (u) + \sin (u) (- \sin (u)) = 0$

Étape 6.8.8.8.7.1.10.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\cos^{4} (u) - \sin (u) \sin (u) = 0$

Étape 6.8.8.8.7.1.10.2.3

Multipliez $- \sin (u) \sin (u)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.8.7.1.10.2.3.1

Élevez $\sin (u)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{4} (u) - (\sin^{1} (u) \sin (u)) = 0$

Étape 6.8.8.8.7.1.10.2.3.2

Élevez $\sin (u)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{4} (u) - (\sin^{1} (u) \sin^{1} (u)) = 0$

Étape 6.8.8.8.7.1.10.2.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos^{4} (u) - {\sin (u)}^{1 + 1} = 0$

Étape 6.8.8.8.7.1.10.2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{4} (u) - \sin^{2} (u) = 0$

Étape 6.8.8.8.8

Résolvez l’équation pour $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.8.8.1

Remplacez $\sin^{2} (u)$ par $1 - \cos^{2} (u)$ .

$\cos^{4} (u) - (1 - \cos^{2} (u)) = 0$

Étape 6.8.8.8.8.2

Résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.8.8.2.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\cos^{4} (u) - \sin^{2} (u) = 0$

Étape 6.8.8.8.8.2.2

Factorisez $\cos^{4} (u) - \sin^{2} (u)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.8.8.2.2.1

Réécrivez $\cos^{4} (u)$ comme ${(\cos^{2} (u))}^{2}$ .

${(\cos^{2} (u))}^{2} - \sin^{2} (u) = 0$

Étape 6.8.8.8.8.2.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \cos^{2} (u)$ et $b = \sin (u)$ .

$(\cos^{2} (u) + \sin (u)) (\cos^{2} (u) - \sin (u)) = 0$

Étape 6.8.8.8.8.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos^{2} (u) + \sin (u) = 0$

$\cos^{2} (u) - \sin (u) = 0$

Étape 6.8.8.8.8.2.4

Définissez $\cos^{2} (u) + \sin (u)$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.8.8.2.4.1

Définissez $\cos^{2} (u) + \sin (u)$ égal à $0$ .

$\cos^{2} (u) + \sin (u) = 0$

Étape 6.8.8.8.8.2.4.2

Résolvez $\cos^{2} (u) + \sin (u) = 0$ pour $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.8.8.2.4.2.1

Remplacez $\cos^{2} (u)$ par $1 - \sin^{2} (u)$ .

$(1 - \sin^{2} (u)) + \sin (u) = 0$

Étape 6.8.8.8.8.2.4.2.2

Résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.8.8.2.4.2.2.1

Remplacez $\sin (u)$ par $u$ .

$1 - {(u)}^{2} + u = 0$

Étape 6.8.8.8.8.2.4.2.2.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6.8.8.8.8.2.4.2.2.3

Remplacez les valeurs $a = - 1$ , $b = 1$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 1)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.8.8.8.8.2.4.2.2.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.8.8.2.4.2.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.8.8.2.4.2.2.4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.8.8.8.8.2.4.2.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.8.8.2.4.2.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.8.8.8.8.2.4.2.2.4.1.2.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.8.8.8.8.2.4.2.2.4.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.8.8.8.8.2.4.2.2.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

Étape 6.8.8.8.8.2.4.2.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Étape 6.8.8.8.8.2.4.2.2.5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Étape 6.8.8.8.8.2.4.2.2.6

Remplacez $u$ par $\sin (u)$ .

$\sin (u) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Étape 6.8.8.8.8.2.4.2.2.7

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $u$ .

$\sin (u) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$\sin (u) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Étape 6.8.8.8.8.2.4.2.2.8

Résolvez $u$ dans $\sin (u) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.8.8.2.4.2.2.8.1

La plage du sinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9

Résolvez $u$ dans $\sin (u) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $u$ de l’intérieur du sinus.

$u = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$

Étape 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.2.1

Évaluez $\arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ .

$u = - 0.66623943$

Étape 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$u = (3.14159265) + 0.66623943$

Étape 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.4

Résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.4.1

Supprimez les parenthèses.

$u = 3.14159265 + 0.66623943$

Étape 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.4.2

Supprimez les parenthèses.

$u = (3.14159265) + 0.66623943$

Étape 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.4.3

Additionnez $3.14159265$ et $0.66623943$ .

$u = 3.80783208$

Étape 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.5

Déterminez la période de $\sin (u)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.6

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.6.1

Ajoutez $2 π$ à $- 0.66623943$ pour déterminer l’angle positif.

$- 0.66623943 + 2 π$

Étape 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.6.2

Soustrayez $0.66623943$ de $2 π$ .

$5.61694587$

Étape 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.6.3

Indiquez les nouveaux angles.

$u = 5.61694587$

Étape 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.7

La période de la fonction $\sin (u)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$u = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6.8.8.8.8.2.4.2.2.10

Indiquez toutes les solutions.

$u = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6.8.8.8.8.2.5

Définissez $\cos^{2} (u) - \sin (u)$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.8.8.2.5.1

Définissez $\cos^{2} (u) - \sin (u)$ égal à $0$ .

$\cos^{2} (u) - \sin (u) = 0$

Étape 6.8.8.8.8.2.5.2

Résolvez $\cos^{2} (u) - \sin (u) = 0$ pour $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.8.8.2.5.2.1

Remplacez $\cos^{2} (u)$ par $1 - \sin^{2} (u)$ .

$(1 - \sin^{2} (u)) - \sin (u) = 0$

Étape 6.8.8.8.8.2.5.2.2

Résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.8.8.2.5.2.2.1

Remplacez $\sin (u)$ par $u$ .

$1 - {(u)}^{2} - (u) = 0$

Étape 6.8.8.8.8.2.5.2.2.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6.8.8.8.8.2.5.2.2.3

Remplacez les valeurs $a = - 1$ , $b = - 1$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 1)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.8.8.8.8.2.5.2.2.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.8.8.2.5.2.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.8.8.2.5.2.2.4.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.8.8.8.8.2.5.2.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.8.8.2.5.2.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.8.8.8.8.2.5.2.2.4.1.2.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.8.8.8.8.2.5.2.2.4.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.8.8.8.8.2.5.2.2.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

Étape 6.8.8.8.8.2.5.2.2.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$u = - \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Étape 6.8.8.8.8.2.5.2.2.5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Étape 6.8.8.8.8.2.5.2.2.6

Remplacez $u$ par $\sin (u)$ .

$\sin (u) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Étape 6.8.8.8.8.2.5.2.2.7

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $u$ .

$\sin (u) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$\sin (u) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Étape 6.8.8.8.8.2.5.2.2.8

Résolvez $u$ dans $\sin (u) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.8.8.2.5.2.2.8.1

La plage du sinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9

Résolvez $u$ dans $\sin (u) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $u$ de l’intérieur du sinus.

$u = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})$

Étape 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.2.1

Évaluez $\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ .

$u = 0.66623943$

Étape 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.3

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$u = 2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265$

Étape 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.4.1

Soustrayez $2 π$ de $2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265$ .

$u = 2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265 - 2 π$

Étape 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.4.2

L’angle résultant de $2.47535322$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265$ .

$u = 2.47535322$

Étape 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.5

Déterminez la période de $\sin (u)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.6

La période de la fonction $\sin (u)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$u = 0.66623943 + 2 π n, 2.47535322 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6.8.8.8.8.2.5.2.2.10

Indiquez toutes les solutions.

$u = 0.66623943 + 2 π n, 2.47535322 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6.8.8.8.8.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(\cos^{2} (u) + \sin (u)) (\cos^{2} (u) - \sin (u)) = 0$ vraie.

$u = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n, 0.66623943 + 2 π n, 2.47535322 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Consolidez les réponses.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Consolidez $3.80783208 + 2 π n$ et $0.66623943 + 2 π n$ en $0.66623943 + π n$ .

$u = 0.66623943 + π n, 5.61694587 + 2 π n, 2.47535322 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7.2

Consolidez $5.61694587 + 2 π n$ et $2.47535322 + 2 π n$ en $2.47535322 + π n$ .

$u = 0.66623943 + π n, 2.47535322 + π n$ , pour tout entier $n$