Algèbre Exemples

$2 \sqrt{3 x + 1} = 4 x$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 \sqrt{3 x + 1})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 x + 1}$ comme ${(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${(2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Étape 2.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {({(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Étape 2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x)}^{2}$

Étape 2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x)}^{2}$

Étape 2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 {(3 x + 1)}^{1} = {(4 x)}^{2}$

Étape 2.2.1.4

Simplifiez

$4 (3 x + 1) = {(4 x)}^{2}$

Étape 2.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$4 (3 x) + 4 \cdot 1 = {(4 x)}^{2}$

Étape 2.2.1.6

Multipliez.

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Étape 2.2.1.6.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 x + 4 \cdot 1 = {(4 x)}^{2}$

Étape 2.2.1.6.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$12 x + 4 = {(4 x)}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez ${(4 x)}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $4 x$ .

$12 x + 4 = 4^{2} x^{2}$

Étape 2.3.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$12 x + 4 = 16 x^{2}$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $16 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$12 x + 4 - 16 x^{2} = 0$

Étape 3.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Factorisez $- 4$ à partir de $12 x + 4 - 16 x^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 3.2.1.1.1

Déplacez $4$ .

$12 x - 16 x^{2} + 4 = 0$

Étape 3.2.1.1.2

Remettez dans l’ordre $12 x$ et $- 16 x^{2}$ .

$- 16 x^{2} + 12 x + 4 = 0$

Étape 3.2.1.2

Factorisez $- 4$ à partir de $- 16 x^{2}$ .

$- 4 (4 x^{2}) + 12 x + 4 = 0$

Étape 3.2.1.3

Factorisez $- 4$ à partir de $12 x$ .

$- 4 (4 x^{2}) - 4 (- 3 x) + 4 = 0$

Étape 3.2.1.4

Factorisez $- 4$ à partir de $4$ .

$- 4 (4 x^{2}) - 4 (- 3 x) - 4 \cdot - 1 = 0$

Étape 3.2.1.5

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 (4 x^{2}) - 4 (- 3 x)$ .

$- 4 (4 x^{2} - 3 x) - 4 \cdot - 1 = 0$

Étape 3.2.1.6

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 (4 x^{2} - 3 x) - 4 (- 1)$ .

$- 4 (4 x^{2} - 3 x - 1) = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez.

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Étape 3.2.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.2.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot - 1 = - 4$ et dont la somme est $b = - 3$ .

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Étape 3.2.2.1.1.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 x$ .

$- 4 (4 x^{2} - 3 x - 1) = 0$

Étape 3.2.2.1.1.2

Réécrivez $- 3$ comme $1$ plus $- 4$

$- 4 (4 x^{2} + (1 - 4) x - 1) = 0$

Étape 3.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 (4 x^{2} + 1 x - 4 x - 1) = 0$

Étape 3.2.2.1.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$- 4 (4 x^{2} + x - 4 x - 1) = 0$

Étape 3.2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- 4 ((4 x^{2} + x) - 4 x - 1) = 0$

Étape 3.2.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- 4 (x (4 x + 1) - (4 x + 1)) = 0$

Étape 3.2.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 x + 1$ .

$- 4 ((4 x + 1) (x - 1)) = 0$

Étape 3.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 4 (4 x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 3.4

Définissez $4 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $4 x + 1$ égal à $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $4 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$4 x = - 1$

Étape 3.4.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x = - 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = - 1$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Étape 3.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Étape 3.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Étape 3.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{4}$

Étape 3.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 3.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 4 (4 x + 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{4}, 1$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $2 \sqrt{3 x + 1} = 4 x$ vrai.

$x = 1$