Algèbre Exemples

$f (x) = - \sqrt{x + 2}$ ; for $x \geq - 2$

Étape 1

Déterminez la plage de la fonction donnée.

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Étape 1.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

$(- \infty, 0]$

Étape 1.2

Convertissez $(- \infty, 0]$ en une inégalité.

$y \leq 0$

Étape 2

Déterminez l’inverse.

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Étape 2.1

Interchangez les variables.

$x = - \sqrt{y + 2}$

Étape 2.2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.2.1

Réécrivez l’équation comme $- \sqrt{y + 2} = x$ .

$- \sqrt{y + 2} = x$

Étape 2.2.2

Divisez chaque terme dans $- \sqrt{y + 2} = x$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- \sqrt{y + 2} = x$ par $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{y + 2}}{- 1} = \frac{x}{- 1}$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\sqrt{y + 2}}{1} = \frac{x}{- 1}$

Étape 2.2.2.2.2

Divisez $\sqrt{y + 2}$ par $1$ .

$\sqrt{y + 2} = \frac{x}{- 1}$

Étape 2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.2.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{x}{- 1}$ .

$\sqrt{y + 2} = - 1 \cdot x$

Étape 2.2.2.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot x$ comme $- x$ .

$\sqrt{y + 2} = - x$

Étape 2.2.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{y + 2}}^{2} = {(- x)}^{2}$

Étape 2.2.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y + 2}$ comme ${(y + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x)}^{2}$

Étape 2.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.4.2.1

Simplifiez ${({(y + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(y + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Étape 2.2.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(y + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Étape 2.2.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(y + 2)}^{1} = {(- x)}^{2}$

Étape 2.2.4.2.1.2

Simplifiez

$y + 2 = {(- x)}^{2}$

Étape 2.2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.4.3.1

Simplifiez ${(- x)}^{2}$ .

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Étape 2.2.4.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$y + 2 = {(- 1)}^{2} x^{2}$

Étape 2.2.4.3.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$y + 2 = 1 x^{2}$

Étape 2.2.4.3.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$y + 2 = x^{2}$

Étape 2.2.5

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$y = x^{2} - 2$

Étape 2.3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2$

Étape 3

Déterminez l’inverse en utilisant le domaine et la plage de la fonction d’origine.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2, x \leq 0$

Étape 4