Algèbre Exemples

$\log_{2} (8 x - x^{2}) = 4$

Étape 1

Réécrivez $\log_{2} (8 x - x^{2}) = 4$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$2^{4} = 8 x - x^{2}$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $8 x - x^{2} = 2^{4}$ .

$8 x - x^{2} = 2^{4}$

Étape 2.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$8 x - x^{2} = 16$

Étape 2.3

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$8 x - x^{2} - 16 = 0$

Étape 2.4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $8 x - x^{2} - 16$ .

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Étape 2.4.1.1

Remettez dans l’ordre $8 x$ et $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 8 x - 16 = 0$

Étape 2.4.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 8 x - 16 = 0$

Étape 2.4.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $8 x$ .

$- (x^{2}) - (- 8 x) - 16 = 0$

Étape 2.4.1.4

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$- (x^{2}) - (- 8 x) - 1 \cdot 16 = 0$

Étape 2.4.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (- 8 x)$ .

$- (x^{2} - 8 x) - 1 \cdot 16 = 0$

Étape 2.4.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - 8 x) - 1 (16)$ .

$- (x^{2} - 8 x + 16) = 0$

Étape 2.4.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.4.2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$- (x^{2} - 8 x + 4^{2}) = 0$

Étape 2.4.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Étape 2.4.2.3

Réécrivez le polynôme.

$- (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Étape 2.4.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 4$ .

$- {(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 2.5

Divisez chaque terme dans $- {(x - 4)}^{2} = 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.5.1

Divisez chaque terme dans $- {(x - 4)}^{2} = 0$ par $- 1$ .

$\frac{- {(x - 4)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 2.5.2.2

Divisez ${(x - 4)}^{2}$ par $1$ .

${(x - 4)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Étape 2.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 2.6

Définissez le $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 2.7

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$