Algèbre Exemples

$\log_{x} (64 x) = 4$

Étape 1

Réécrivez $\log_{x} (64 x) = 4$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$x^{4} = 64 x$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Soustrayez $64 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{4} - 64 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4} - 64 x$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$x \cdot x^{3} - 64 x = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 64 x$ .

$x \cdot x^{3} + x \cdot - 64 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{3} + x \cdot - 64$ .

$x (x^{3} - 64) = 0$

Étape 2.2.2

Réécrivez $64$ comme $4^{3}$ .

$x (x^{3} - 4^{3}) = 0$

Étape 2.2.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$x ((x - 4) (x^{2} + x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Étape 2.2.4

Factorisez.

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Étape 2.2.4.1

Simplifiez

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Étape 2.2.4.1.1

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$x ((x - 4) (x^{2} + 4 x + 4^{2})) = 0$

Étape 2.2.4.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x ((x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)) = 0$

Étape 2.2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 2.6

Définissez $x^{2} + 4 x + 16$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $x^{2} + 4 x + 16$ égal à $0$ .

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Étape 2.6.2

Résolvez $x^{2} + 4 x + 16 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 4$ et $c = 16$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.2.3

Simplifiez

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Étape 2.6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.2.3.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Étape 2.6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.2.3.1.3

Soustrayez $64$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.2.3.1.4

Réécrivez $- 48$ comme $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (48)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.2.3.1.7

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.6.2.3.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.2.3.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.2.3.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.6.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Étape 2.6.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$ vraie.

$x = 0, 4, - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$