Algèbre Exemples

$4 x - y^{2} = 2 y + 13$

Étape 1

Résolvez $y$ .

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Étape 1.1

Soustrayez $2 y$ des deux côtés de l’équation.

$4 x - y^{2} - 2 y = 13$

Étape 1.2

Soustrayez $13$ des deux côtés de l’équation.

$4 x - y^{2} - 2 y - 13 = 0$

Étape 1.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.4

Remplacez les valeurs $a = - 1$ , $b = - 2$ et $c = 4 x - 13$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (4 x - 13))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot (4 x - 13)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot (4 x - 13)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 13}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.5.1.4

Multipliez $4$ par $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16 x + 4 \cdot - 13}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.5.1.5

Multipliez $4$ par $- 13$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16 x - 52}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.5.1.6

Soustrayez $52$ de $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{16 x - 48}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.5.1.7

Factorisez $16$ à partir de $16 x - 48$ .

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Étape 1.5.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $16 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{16 (x) - 48}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.5.1.7.2

Factorisez $16$ à partir de $- 48$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{16 x + 16 \cdot - 3}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.5.1.7.3

Factorisez $16$ à partir de $16 x + 16 \cdot - 3$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{16 (x - 3)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.5.1.8

Réécrivez $16 (x - 3)$ comme ${(2^{2})}^{2} (x - 3)$ .

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Étape 1.5.1.8.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4^{2} (x - 3)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.5.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x - 3)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.5.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2 \pm 2^{2} \sqrt{x - 3}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.5.1.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 \pm 4 \sqrt{x - 3}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm 4 \sqrt{x - 3}}{- 2}$

Étape 1.5.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 4 \sqrt{x - 3}}{- 2}$ .

$y = \frac{1 \pm 2 \sqrt{x - 3}}{- 1}$

Étape 1.5.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{1 \pm 2 \sqrt{x - 3}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (1 \pm 2 \sqrt{x - 3})$

Étape 1.5.5

Réécrivez $- 1 \cdot (1 \pm 2 \sqrt{x - 3})$ comme $- (1 \pm 2 \sqrt{x - 3})$ .

$y = - (1 \pm 2 \sqrt{x - 3})$

Étape 1.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot (4 x - 13)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.6.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot (4 x - 13)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 13}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.6.1.4

Multipliez $4$ par $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16 x + 4 \cdot - 13}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.6.1.5

Multipliez $4$ par $- 13$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16 x - 52}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.6.1.6

Soustrayez $52$ de $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{16 x - 48}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.6.1.7

Factorisez $16$ à partir de $16 x - 48$ .

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Étape 1.6.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $16 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{16 (x) - 48}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.6.1.7.2

Factorisez $16$ à partir de $- 48$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{16 x + 16 \cdot - 3}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.6.1.7.3

Factorisez $16$ à partir de $16 x + 16 \cdot - 3$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{16 (x - 3)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.6.1.8

Réécrivez $16 (x - 3)$ comme ${(2^{2})}^{2} (x - 3)$ .

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Étape 1.6.1.8.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4^{2} (x - 3)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.6.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x - 3)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.6.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2 \pm 2^{2} \sqrt{x - 3}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.6.1.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 \pm 4 \sqrt{x - 3}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm 4 \sqrt{x - 3}}{- 2}$

Étape 1.6.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 4 \sqrt{x - 3}}{- 2}$ .

$y = \frac{1 \pm 2 \sqrt{x - 3}}{- 1}$

Étape 1.6.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{1 \pm 2 \sqrt{x - 3}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (1 \pm 2 \sqrt{x - 3})$

Étape 1.6.5

Réécrivez $- 1 \cdot (1 \pm 2 \sqrt{x - 3})$ comme $- (1 \pm 2 \sqrt{x - 3})$ .

$y = - (1 \pm 2 \sqrt{x - 3})$

Étape 1.6.6

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = - (1 + 2 \sqrt{x - 3})$

Étape 1.6.7

Appliquez la propriété distributive.

$y = - 1 \cdot 1 - (2 \sqrt{x - 3})$

Étape 1.6.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = - 1 - (2 \sqrt{x - 3})$

Étape 1.6.9

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = - 1 - 2 \sqrt{x - 3}$

Étape 1.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot (4 x - 13)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.7.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot (4 x - 13)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 13}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.7.1.4

Multipliez $4$ par $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16 x + 4 \cdot - 13}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.7.1.5

Multipliez $4$ par $- 13$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16 x - 52}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.7.1.6

Soustrayez $52$ de $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{16 x - 48}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.7.1.7

Factorisez $16$ à partir de $16 x - 48$ .

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Étape 1.7.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $16 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{16 (x) - 48}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.7.1.7.2

Factorisez $16$ à partir de $- 48$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{16 x + 16 \cdot - 3}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.7.1.7.3

Factorisez $16$ à partir de $16 x + 16 \cdot - 3$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{16 (x - 3)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.7.1.8

Réécrivez $16 (x - 3)$ comme ${(2^{2})}^{2} (x - 3)$ .

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Étape 1.7.1.8.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4^{2} (x - 3)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.7.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x - 3)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.7.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2 \pm 2^{2} \sqrt{x - 3}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.7.1.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 \pm 4 \sqrt{x - 3}}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.7.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm 4 \sqrt{x - 3}}{- 2}$

Étape 1.7.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 4 \sqrt{x - 3}}{- 2}$ .

$y = \frac{1 \pm 2 \sqrt{x - 3}}{- 1}$

Étape 1.7.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{1 \pm 2 \sqrt{x - 3}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (1 \pm 2 \sqrt{x - 3})$

Étape 1.7.5

Réécrivez $- 1 \cdot (1 \pm 2 \sqrt{x - 3})$ comme $- (1 \pm 2 \sqrt{x - 3})$ .

$y = - (1 \pm 2 \sqrt{x - 3})$

Étape 1.7.6

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = - (1 - 2 \sqrt{x - 3})$

Étape 1.7.7

Appliquez la propriété distributive.

$y = - 1 \cdot 1 - (- 2 \sqrt{x - 3})$

Étape 1.7.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = - 1 - (- 2 \sqrt{x - 3})$

Étape 1.7.9

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$y = - 1 + 2 \sqrt{x - 3}$

Étape 1.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - 1 - 2 \sqrt{x - 3}$

$y = - 1 + 2 \sqrt{x - 3}$

$y = - 1 - 2 \sqrt{x - 3}$

$y = - 1 + 2 \sqrt{x - 3}$

Étape 2

Pour écrire un polynôme en forme normalisée, simplifiez puis classez les termes par ordre décroissant.

$y = a x^{2} + b x + c$

Étape 3

La forme normalisée est $- 1 - 2 \sqrt{x - 3}, - 1 + 2 \sqrt{x - 3}$ .

$y = - 1 - 2 \sqrt{x - 3}$

$y = - 1 + 2 \sqrt{x - 3}$

Étape 4