Algèbre Exemples

$f (x) = - {(\frac{1}{3})}^{x - 1} + 2$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = - {(\frac{1}{3})}^{x - 1} + 2$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $- {(\frac{1}{3})}^{x - 1} + 2 = 0$ .

$- {(\frac{1}{3})}^{x - 1} + 2 = 0$

Étape 1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1^{x - 1}}{3^{x - 1}} + 2 = 0$

Étape 1.2.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{1}{3^{x - 1}} + 2 = 0$

Étape 1.2.3

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{1}{3^{x - 1}} = - 2$

Étape 1.2.4

Multipliez les deux côtés par $3^{x - 1}$ .

$- \frac{1}{3^{x - 1}} \cdot 3^{x - 1} = - 2 \cdot 3^{x - 1}$

Étape 1.2.5

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.5.1

Annulez le facteur commun de $3^{x - 1}$ .

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Étape 1.2.5.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{3^{x - 1}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{3^{x - 1}} \cdot 3^{x - 1} = - 2 \cdot 3^{x - 1}$

Étape 1.2.5.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{3^{x - 1}} \cdot 3^{x - 1} = - 2 \cdot 3^{x - 1}$

Étape 1.2.5.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = - 2 \cdot 3^{x - 1}$

Étape 1.2.6

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Réécrivez l’équation comme $- 2 \cdot 3^{x - 1} = - 1$ .

$- 2 \cdot 3^{x - 1} = - 1$

Étape 1.2.6.2

Divisez chaque terme dans $- 2 \cdot 3^{x - 1} = - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.6.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \cdot 3^{x - 1} = - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \cdot 3^{x - 1}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 1.2.6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 1.2.6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \cdot 3^{x - 1}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 1.2.6.2.2.1.2

Divisez $3^{x - 1}$ par $1$ .

$3^{x - 1} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 1.2.6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.6.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$3^{x - 1} = \frac{1}{2}$

Étape 1.2.6.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (3^{x - 1}) = \ln (\frac{1}{2})$

Étape 1.2.6.4

Développez $\ln (3^{x - 1})$ en déplaçant $x - 1$ hors du logarithme.

$(x - 1) \ln (3) = \ln (\frac{1}{2})$

Étape 1.2.6.5

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.6.5.1

Simplifiez $(x - 1) \ln (3)$ .

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Étape 1.2.6.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (3) - 1 \ln (3) = \ln (\frac{1}{2})$

Étape 1.2.6.5.1.2

Réécrivez $- 1 \ln (3)$ comme $- \ln (3)$ .

$x \ln (3) - \ln (3) = \ln (\frac{1}{2})$

Étape 1.2.6.6

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$x \ln (3) - \ln (3) - \ln (\frac{1}{2}) = 0$

Étape 1.2.6.7

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.2.6.7.1

Ajoutez $\ln (3)$ aux deux côtés de l’équation.

$x \ln (3) - \ln (\frac{1}{2}) = \ln (3)$

Étape 1.2.6.7.2

Ajoutez $\ln (\frac{1}{2})$ aux deux côtés de l’équation.

$x \ln (3) = \ln (3) + \ln (\frac{1}{2})$

Étape 1.2.6.8

Divisez chaque terme dans $x \ln (3) = \ln (3) + \ln (\frac{1}{2})$ par $\ln (3)$ et simplifiez.

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Étape 1.2.6.8.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (3) = \ln (3) + \ln (\frac{1}{2})$ par $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (\frac{1}{2})}{\ln (3)}$

Étape 1.2.6.8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.6.8.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (3)$ .

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Étape 1.2.6.8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (\frac{1}{2})}{\ln (3)}$

Étape 1.2.6.8.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (\frac{1}{2})}{\ln (3)}$

Étape 1.2.6.8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.6.8.3.1

Annulez le facteur commun de $\ln (3)$ .

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Étape 1.2.6.8.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (\frac{1}{2})}{\ln (3)}$

Étape 1.2.6.8.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 1 + \frac{\ln (\frac{1}{2})}{\ln (3)}$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(1 + \frac{\ln (\frac{1}{2})}{\ln (3)}, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = - {(\frac{1}{3})}^{(0) - 1} + 2$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - {(\frac{1}{3})}^{0 - 1} + 2$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - {(\frac{1}{3})}^{(0) - 1} + 2$

Étape 2.2.3

Simplifiez $- {(\frac{1}{3})}^{(0) - 1} + 2$ .

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Étape 2.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.3.1.1

Soustrayez $1$ de $0$ .

$y = - {(\frac{1}{3})}^{- 1} + 2$

Étape 2.2.3.1.2

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$y = - 1 \cdot 3 + 2$

Étape 2.2.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y = - 3 + 2$

Étape 2.2.3.2

Additionnez $- 3$ et $2$ .

$y = - 1$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 1)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(1 + \frac{\ln (\frac{1}{2})}{\ln (3)}, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 1)$

Étape 4